Άθροισμα κύβων

#1

Αν

και $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{(\ln_ba )^3+ (\ln _cb)^3 + (\ln _ac)^3}$ .

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 09, 2021 11:56 pm
Αν και $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{(\ln_ba )^3+ (\ln _cb)^3 + (\ln _ac)^3}$ .

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Aφού δεν ανταποκρίθηκε κάποιος μαθητής, ας δούμε τη λύση...

Θα θυμηθούμε από την Άλγεβρα ότι αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z

ισχύει ότι x+y+z=0

τότε $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$ .

Όποιος θέλει την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού, ας αποδείξει την ταυτότητα
$\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )\left [ \left ( x-y \right )^{2}+\left ( y-z \right )^{2}+\left ( z-x \right )^{2} \right ]$ , αυτό είναι κάτι εύκολο...

Έτσι λοιπόν μπορεί να γραφεί ότι $\displaystyle{(\ln_ba )^3+ (\ln _cb)^3 + (\ln _ac)^3}=3\ln_ba\ln _cb\ln _ac$

Aς θυμηθούμε τον τύπο αλλαγής βάσης, έχουμε ότι $\displaystyle \ln_ba=\frac{\ln_ca}{\ln_cb},\ln_ac=\frac{\ln_cc}{\ln_ca}=\frac{1}{\ln_ca}$

Συνεπώς $\displaystyle{(\ln_ba )^3+ (\ln _cb)^3 + (\ln _ac)^3}=3\ln_ba\ln _cb\ln _ac=3\frac{\ln_ca}{\ln_cb}\ln _cb\frac{1}{\ln_ca}=3\cdot 1=3$

Kαθώς έγραφα τη λύση ο Αποστόλης έδωσε το αποτέλεσμα...

Τσιαλας Νικολαος · #4

Καλημέρα! Δεν χρειάζεται απόδειξη! Είναι στο σχολικό!

#5

Κάποτε μαθαίναμε και τύπους Vieta. Υπάρχουν ακόμη στα σχολικά;

Έστω $x = \log_b{a}, y = \log_{c}{b}$ και $z = \log_a{c}$ . Τότε x+y+z = 0

και όπως έχει ήδη δειχθεί xyz = 1

. Άρα οι

είναι ρίζες ενός πολυωνύμου της μορφής t^3 + ct - 1 = 0

για κάποιο

.

Τότε όμως x^3 = -cx+1,y^3 = -cy+1

και

οπότε

.

Al.Koutsouridis · #6

Η αρχική ανάρτηση και η τελευταία απάντηση μου θύμισαν το πρόβλημα 1 από την μαθηματική ολυμπιάδα της Μόσχας 2018 για την 11 τάξη (δεύτερη μέρα), το οποόιο και παραθέτω για το ρου της συζήτησης.

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{ x^3 +\left ( \log_{2}5 + \log_{3}2 + \log_{5}3 \right)x= \left ( \log_{2}3 +\log_{3}5 + \log_{5}2 \right)x^2+1}$ .

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 11, 2021 11:53 am
Η αρχική ανάρτηση και η τελευταία απάντηση μου θύμισαν το πρόβλημα 1 από την μαθηματική ολυμπιάδα της Μόσχας 2018 για την 11 τάξη (δεύτερη μέρα), το οποόιο και παραθέτω για το ρου της συζήτησης.

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{ x^3 +\left ( \log_{2}5 + \log_{3}2 + \log_{5}3 \right)x= \left ( \log_{2}3 +\log_{3}5 + \log_{5}2 \right)x^2+1}$ .

Η εξίσωση (με χρήση ταυτοτήτων που ήδη γρησιμοποιήθηκαν στα παραπάνω) γράφεται

$\displaystyle{x^3- \left ( \log_{2}3 +\log_{3}5 + \log_{5}2 \right)x^2+ \left ( \log_3}5 \log _23 +\log_{5}2 \log _35+ \log_{2}3 \log _52 \right)x - \log_{2}3 \log_{3}5 \log_{5}2 =0}$

ισοδύναμα

$\displaystyle{\left ( x- \log_{2}3 \right) \left ( x- \log_{3}5 \right) \left ( x- \log_{5}2 \right) =0}$ . Και λοιπά.

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 09, 2021 11:56 pm
Αν και $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ ...

Ας την συνεχίσουμε λίγο ακόμα.

Να βρεθεί μία άπειρη οικογένεια τριάδων a,b,c >0

που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ .

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 11, 2021 11:37 pm
Να βρεθεί μία άπειρη οικογένεια τριάδων που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ .

Επαναφορά.

Ομολογώ ότι ξέχασα τι είχα κατά νου. Πού θα πάει, θα το θυμηθώ, αν εν τω μεταξύ δεν μου το θυμίσει άλλος με την λύση του.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 17, 2021 7:45 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 11, 2021 11:37 pm
Να βρεθεί μία άπειρη οικογένεια τριάδων που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη $\displaystyle{\ln_ba + \ln _cb + \ln _ac =0}$ .
Επαναφορά.

Ομολογώ ότι ξέχασα τι είχα κατά νου. Πού θα πάει, θα το θυμηθώ, αν εν τω μεταξύ δεν μου το θυμίσει άλλος με την λύση του.

Μια οικογένεια λύσεων προκύπτει με $0<a\ne 1$ , $0<b=a^{-\sqrt[3]{2}}\ne 1$ και $0<c=a^{-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}\ne 1$ .

Τότε

$\displaystyle{\frac{\ln a}{\ln b}+\frac{\ln b}{\ln c}+\frac{\ln c}{\ln a}=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{4}-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=0}$

Άθροισμα κύβων

Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση