Παραμετρική εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 17, 2021 6:09 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7x^2+14ax-6=0

έχει ακριβώς δυο ρίζες.



Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Παραμετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Απρ 25, 2021 1:07 pm

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

x^{3}\left ( x^{3}-6ax^{2}+12a^{2}x-8a^{3} \right )-7x\left ( x-2a \right )-6=0\Leftrightarrow

x^{3}\left ( x-2a \right )^{3}-7x\left ( x-2a \right )-6=0\Leftrightarrow

\left [ x\left ( x-2a \right ) \right ]^{3}-7x\left ( x-2a \right )-6=0

Θέτω y=x\left ( x-2a \right ) για διευκόλυνση και η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

y^{3}-7y-6=0\Leftrightarrow

y^{3}-y-6y-6=0\Leftrightarrow

y\left ( y^{2} -1\right )-6\left ( y+1 \right )=0\Leftrightarrow

y\left ( y +1\right )\left ( y-1 \right )-6\left ( y+1 \right )=0\Leftrightarrow

\left ( y +1\right )\left [ y\left ( y-1 \right )-6 \right ]=0\Leftrightarrow

\left ( y +1\right )\left ( y^{2}-y-6 \right )=0\Leftrightarrow

\left ( y +1\right )\left ( y+2 \right )\left ( y-3 \right )=0

Έτσι λοιπόν η αρχική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

\left [ x(x-2a)+1 \right ]\left [ x\left ( x-2a \right )+2 \right ]\left [ x\left ( x-2a \right )-3 \right ]=0\Leftrightarrow

\left ( x^{2}-2ax+1 \right )\left ( x^{2}-2ax+2 \right )\left ( x^{2}-2ax-3 \right )=0

Θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου a έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες.

Η εξίσωση x^{2}-2ax-3=0 έχει σίγουρα δύο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες

αφού \Delta =4a^{2}+12> 0 για κάθε a\epsilon \mathbb{R}.

Αυτό που απομένει είναι να εξασφαλίσουμε ότι οι εξισώσεις

x^{2}-2ax+1 =0,x^{2}-2ax+2 =0

στερούνται πραγματικών ριζών.

Δηλαδή θέλουμε να βρούμε τις τιμές του a για τις οποίες ισχύουν

4a^{2}-4< 0 και 4a^{2}-8< 0.

Εύκολα διαπιστώνει κάποιος ότι

4a^{2}-4< 0\Leftrightarrow -1< a< 1 και 4a^{2}-8< 0\Leftrightarrow -\sqrt{2}< a< \sqrt{2}

Συνεπώς οι ζητούμενες τιμές είναι αυτές για τις οποίες -1< a< 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης