Ώρα εφαπτομένης 98

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 98

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 06, 2021 2:06 pm

Ώρα εφαπτομένης  98.png
Ώρα εφαπτομένης 98.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
Στο εσωτερικό γωνίας \widehat{xOy} , με \tan\widehat{xOy}=\dfrac{3}{4} , γράφουμε κύκλο (K) , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών

της γωνίας . Σε σημείο S του κύκλου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία

P ,T . Υπολογίστε την : \tan\widehat{PKT} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 98

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 08, 2021 9:18 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 06, 2021 2:06 pm
Ώρα εφαπτομένης 98.png Στο εσωτερικό γωνίας \widehat{xOy} , με \tan\widehat{xOy}=\dfrac{3}{4} , γράφουμε κύκλο (K) , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών

της γωνίας . Σε σημείο S του κύκλου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία

P ,T . Υπολογίστε την : \tan\widehat{PKT} .
O (K) είναι ο O-παρεγγεγραμμένος κύκλος του OPT άρα:
Ώρα εφαπτομένης.98.png
Ώρα εφαπτομένης.98.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
\displaystyle \omega  = 90^\circ  - \frac{\theta }{2} \Leftrightarrow \tan 2\omega  = \tan (180^\circ  - \theta ) =  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} =  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow

\displaystyle 3{\tan ^2}\omega  - 8\tan \omega  - 3 = 0 κι επειδή η γωνία \omega είναι οξεία, θα είναι \boxed{\tan \omega=3}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 98

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Απρ 08, 2021 2:38 pm

Σύμφωνα με το σχήμα θα είναι

\displaystyle{ 
\tan \widehat{PKT} = \tan \widehat{LNO} = {OL \over LN} = {ON \over KN} = {OX \over XG} 
}

Όμως το \triangle OXY είναι του είδους (4,3,5) και η OG διχοτόμος, άρα

\displaystyle{ 
 {XG \over GY} =  {4 \over 5} \rightarrow  {XG \over XY} =  {4 \over 9} 
}

οπότε

\displaystyle{ 
\tan \widehat{PKT} = {OX \over XG} =   {OX \over XY}  {XY \over XG} =  {4 \over 3}{9 \over 4}=3 
}
Συνημμένα
rsz_tan98.png
rsz_tan98.png (56.41 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1449
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα εφαπτομένης 98

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Απρ 08, 2021 10:10 pm

Καλό βράδυ! Με ..έτοιμη (από την λύση του Γιώργου ) την σχέση: \omega =90^o-\dfrac{\theta }{2} και χρήση του σχήματος
tan..98.png
tan..98.png (77.16 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Είναι \widehat{AOP}=90^o-\dfrac{\theta }{2}=\omega , συνεπώς tan\omega =\dfrac{AP}{OA}=\dfrac{4+5}{3}=3. Φιλικά, Γιώργος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 98

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Απρ 09, 2021 5:07 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 06, 2021 2:06 pm
Ώρα εφαπτομένης 98.png Στο εσωτερικό γωνίας \widehat{xOy} , με \tan\widehat{xOy}=\dfrac{3}{4} , γράφουμε κύκλο (K) , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών

της γωνίας . Σε σημείο S του κύκλου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία

P ,T . Υπολογίστε την : \tan\widehat{PKT} .

Με A συμμετρικό του T ως προς OK είναι KA=KT \Rightarrow  \triangle AKB= \triangle KTC άρα οι κόκκινες

γωνίες στο σχήμα είναι ίσες και KPAT εγγράψιμμο,επομένως \angle TAO= \angle ATO= \omega κι έστω tan \omega =x

Από tan \omega +tan \omega +tan \theta =tan \omega  . tan \omega .tan \theta  \Rightarrow 2x+ \dfrac{3}{4} =\dfrac{3}{4}x^2 \Rightarrow  x=tan \omega =3
ώρα εφαπτομένης 98.png
ώρα εφαπτομένης 98.png (30.82 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης