Εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 03, 2021 11:47 pm

Να βρεθούν οι πραγματικές ρίζες της 4^x+6^x=9^x.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Απρ 04, 2021 10:11 am

Διαιρούμε κατά μέλη με το 6^x και παίρνουμε:
\left( \dfrac{2}{3} \right)^x+1=\left(\dfrac{9}{6} \right)^x\Leftrightarrow \left(\dfrac{2}{3} \right)^x+1=\left(\dfrac{3}{2} \right)^x
Θέτουμε \left(\dfrac{2}{3} \right)^x=y
Τώρα y+1=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow y^2+y-1=0
\Leftrightarrow y=-\phi ή y=\dfrac{1}{\phi}
Αλλά \left(\dfrac{2}{3} \right)^x>0\Rightarrow \left(\dfrac{2}{3} \right)^x=\dfrac{1}{\phi}\Leftrightarrow \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=\phi
\Rightarrow ln \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=ln (\phi) \Leftrightarrow x \cdot ln \left(\dfrac{3}{2} \right)=ln (\phi)
\Leftrightarrow x=\dfrac{ln (\phi)}{ln \left( \dfrac{ 
3}{2} \right)}\simeq 1,1868143903
*\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 04, 2021 10:19 am

:10sta10:

Μία απειροελάχιστη παραλλαγή είναι να διαιρέσουμε με το 4^x αντί του 6^x. Γλυτώνουμε έτσι ένα-δυό μικρά βήματα. Εδώ

1+ \left( \dfrac{6}{4} \right)^x=\left(\dfrac{9}{4} \right)^x άρα

1+ \left( \dfrac{3}{2} \right)^x=\left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x} από όπου η

1+\phi = \phi ^2, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 04, 2021 10:54 am

Δείξτε ( με ύλη Β' Λυκείου ) ότι η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης βρίσκεται στο διάστημα :  \left(1,\dfrac{3}{2}\right)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες