Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 05, 2020 7:45 am

* Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}

α) Λύστε την εξίσωση : f(x)=\dfrac{24}{5}

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή 4 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:36 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 05, 2020 7:45 am
* Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}

α) Λύστε την εξίσωση : f(x)=\dfrac{24}{5}

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή 4 ;
α) Υψώνω στο τετράγωνο, έρχεται στην μορφή \sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}=\frac {63}{25}. Υψώνω ξανά, (20-x)(2-x)=63^2/25^2 από όπου x=59/25 ή x=491/25 (δεκτές).

β) Από (p+q)^2\le 2(p^2+q^2) έχουμε (\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2})^2 \le 2(20-x+2-x)=36 με ισότητα για x=11. Άρα το μέγιστο είναι 6

γ) Όχι δεν την παίρνει. Ακριβέστερα, ελάχιστη τιμή \sqrt {18}>4. Έπειται από την (p+q)^2\ge p^2+q^2 στους θετικούς, εδώ (\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2})^2\ge 18.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Σεπ 05, 2020 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 05, 2020 10:29 am

Μια άποψη.

Αν θέσω \boxed{20 - x = 9 - t \Rightarrow x - 2 = 9 + t} με |t| \leqslant 9. Έτσι έχω :

f(t) = \sqrt {9 - t}  + \sqrt {9 + t} \,\,,t \in [ - 9,9] που είναι πιο εύκολης διαχείρισης .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 05, 2020 11:31 am

Αλλιώς για το ερώτημα γ). Έστω \displaystyle a = \sqrt {20 - x} ,b = \sqrt {x - 2}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 18

Αν a=0 ή b=0, τότε a+b=\sqrt{18}>4.

Αν \displaystyle ab \ne 0, τότε οι a, b, \sqrt{18} είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και από τριγωνική ανισότητα a+b>\sqrt{18}>4.


Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 05, 2020 7:45 am
* Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}

α) Λύστε την εξίσωση : f(x)=\dfrac{24}{5}

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή 4 ;
Καλημέρα! Άλλη μία λύση για το α) και το γ)

Θα υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της f. Από τον τύπο της f έχουμε ότι: 20-x\geq 0\Leftrightarrow 20\geq x και x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2. Τελικά: D_{f}=[2,20].

Θέτουμε n=\sqrt {20-x} (1). Τότε η εξίσωση γράφεται: n+\sqrt{-n^{2}+18}=\frac{24}{5}\Leftrightarrow \sqrt{-n^{2}+18}=\frac{24}{5}-n\Leftrightarrow -n^{2}+18=\frac{576}{25}-\frac{48}{5}n+n^{2}\Leftrightarrow 2n^{2} -\frac{48}{5}n + \frac{126}{25}=0\Leftrightarrow 50n^{2}-240n+126=0\Leftrightarrow 25n^{2}-120n+63=0\Leftrightarrow n_{1}=\frac{3}{5} \vee n_{2}=\frac{21}{5}.

Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του n στη σχέση (1) έχουμε ότι: \frac{3}{5}=\sqrt{20-x}\Leftrightarrow \frac{9}{25}=20-x\Leftrightarrow x=20-\frac{9}{25}\Leftrightarrow x=\frac{491}{25} και: \frac{21}{5}=\sqrt{20-x}\Leftrightarrow \frac{441}{25}=20-x\Leftrightarrow x=20-\frac{441}{25}\Leftrightarrow x=\frac{59}{25}.

Για το γ), τώρα, χρησιμοποιώντας πάλι τη σχέση (1) καταλήγουμε στην εξίσωση: n+\sqrt{-n^{2}+18}=4\Leftrightarrow -n^{2}+18=16-4n+n^{2}\Leftrightarrow 2n^{2}-8n-2=0 \Leftrightarrow n=2-\sqrt{5} (δεκτή λύση).

Σύμφωνα με τη σχέση (1) θα έχουμε: 2-\sqrt{5}=\sqrt{20-x} που είναι αδύνατη. Συνεπώς, δεν υπάρχει τιμή του x, για την οποία η συνάρτηση να παίρνει τιμή 4.

Καλή συνέχεια!
Φίλιππος Καλούδης,
Μαθητής Γυμνασίου.
τελευταία επεξεργασία από Philip.kal σε Κυρ Σεπ 06, 2020 2:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 06, 2020 10:51 am

Καλημέρα σε όλους.

Τρεις παραλλαγές στο (β) (εκτός φακέλου).

1η (παλαιού τύπου…)

Στις παλαιές Άλγεβρες, τέτοια θέματα αντιμετωπιζόταν με τις εξής τεχνικές:

H f, αφού είναι θετική, στο Π.Ο. της, θα παίρνει τη μέγιστη τιμή της, όταν και η f^2 παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Επίσης όταν ένα υπόρριζο γίνεται μέγιστο, τότε και η ρίζα γίνεται μέγιστη.(Οι αποδείξεις των θεωρημάτων υπήρχαν σε κάποια βιβλία και θεωρούνταν δεδομένες)

 \displaystyle {f^2}\left( x \right) = 18 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {20 - x} \right)} , με  \displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right] .

Επειδή το άθροισμα  \displaystyle x - 2 + 20 - x = 18 είναι σταθερό, το γινόμενό τους, παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν είναι ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι. Αυτό συμβαίνει για x=11, με μέγιστη τιμή  \displaystyle {f^2}{\left( x \right)_{\max }} = 18 + 2\sqrt {81}  = 36 , οπότε και  \displaystyle f{\left( x \right)_{\max }} = 6 για x=11.


2η (ανισότητα C-B-S)

Στην ουσία είναι η απάντηση του Μιχάλη, παραπάνω. Εδώ δίνω τη γενική της μορφή, που εφαρμόζεται και σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Το είχαμε συζητήσει παλαιότερα.

Η συνάρτηση f(x) ορίζεται για  \displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right] .

Έστω  \displaystyle a = \sqrt {20 - x} ,\;\;\;b = \sqrt {x - 2} ,\;\;c = 1,\;\;d = 1 .

Τότε  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\left( {ac + bd} \right)^2} = {\left( {\sqrt {20 - x}  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\\ 
\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = \left( {20 - x + x - 2} \right)\left( {1 + 1} \right) = 36 
\end{array} \right.

Οπότε, από ανισότητα C-S, είναι  \displaystyle {f^2}\left( x \right) \le 36 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 6 , αφού  \displaystyle f\left( x \right) > 0 για κάθε  \displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right] .

Το ίσον ισχύει όταν bc = ad, δηλαδή όταν

 \displaystyle \sqrt {20 - x}  = \sqrt {x - 2}  \Leftrightarrow x = 11 ,

που ανήκει στο διάστημα  \displaystyle \left[ {2,\;20} \right] .


3η (ανισότητα Jensen)

H \displaystyle f\left( t \right) = \sqrt t ,\;\;t \in \left[ {2,\;20} \right] είναι κοίλη, άρα,

 \displaystyle f\left( {x - 2} \right) + f\left( {20 - x} \right) \le 2f\left( {\frac{{x - 2 + 20 - x}}{2}} \right) = 2f\left( 9 \right) = 6 με το ίσον όταν x=11.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 06, 2020 12:26 pm

Philip.kal έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am

Δε χρειάστηκε τελικά το πεδίο ορισμού της f, αλλά το αφήνω.
.
Όχι βέβαια. Το πεδίο ορισμού χρειάστηκε σε πολλά σημεία. Θα δώσω ένα από τα προφανή:
.
Philip.kal έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am

Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του n στη σχέση (1) έχουμε ότι: ... \Leftrightarrow x=\frac{59}{25}.
.
Δεκτή άραγε αυτή η τιμή ή όχι; Εσύ τι λες;


Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Κυρ Σεπ 06, 2020 2:01 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 12:26 pm
Philip.kal έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am

Δε χρειάστηκε τελικά το πεδίο ορισμού της f, αλλά το αφήνω.
.
Όχι βέβαια. Το πεδίο ορισμού χρειάστηκε σε πολλά σημεία. Θα δώσω ένα από τα προφανή:
.
Philip.kal έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am

Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του n στη σχέση (1) έχουμε ότι: ... \Leftrightarrow x=\frac{59}{25}.
.
Δεκτή άραγε αυτή η τιμή ή όχι; Εσύ τι λες;
Καλησπέρα κύριε Λάμπρου!

Σας ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση! Θα το διορθώσω αμέσως. Το x=\frac{59}{25}>2 και συνεπώς ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και είναι δεκτό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης