Βιετνάμ 48/2020

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Βιετνάμ 48/2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Αύγ 25, 2020 10:56 pm

Oι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί \displaystyle x,y ικανοποιούν την \displaystyle 2x+y\cdot {{4}^{x+y-1}}\ge 3.
Η μικρότερη τιμή της ποσότητας \displaystyle P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y είναι :
\displaystyle A.\,\,\,\frac{33}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,\frac{65}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{49}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,\frac{57}{8}\,


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Βιετνάμ 48/2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Αύγ 28, 2020 12:57 pm

Βάζω μια λύση , υπάρχουν κι άλλες ...

\displaystyle 2x+y\cdot {{4}^{x+y-1}}\ge 3\Leftrightarrow x+y\cdot {{4}^{x+y-\frac{3}{2}}}\ge \frac{3}{2}\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}+y\cdot {{4}^{x+y-\frac{3}{2}}}\ge 0
Θέτω : \displaystyle x+y-\frac{3}{2}=a οπότε η \displaystyle (1)\Leftrightarrow a-y+y\cdot {{4}^{a}}\ge 0\Rightarrow a+y({{4}^{a}}-1)\ge 0
Αν \displaystyle a<0\Rightarrow a+y({{4}^{a}}-1)<0, άτοπο
Άρα \displaystyle a\ge 0\Rightarrow x+y-\frac{3}{2}\ge 0\Rightarrow x+y\ge \frac{3}{2}
Ισχύει : \displaystyle \,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}{{(a+b)}^{2}}, άρα
\displaystyle P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y={{(x+2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}-13\ge \frac{1}{2}{{(x+y+5)}^{2}}-13\ge \frac{1}{2}{{(\frac{3}{2}+5)}^{2}}-13=\frac{169}{8}-13=\frac{65}{8}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης