Σύστημα με απόλυτα

#1

Με αφορμή αυτήν να λύσετε το σύστημα:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = a\\ \\ \dfrac{y}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = b\\ \\ \dfrac{z}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = c \end{array} \right.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 11:23 am
Με αφορμή αυτήν να λύσετε το σύστημα:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = a\\ \\ \dfrac{y}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = b\\ \\ \dfrac{z}{{1 + |x| + |y| + |z|}} = c \end{array} \right.$

Με τον περιορισμό $|x| + |y| + |z|\ne 0$ , έχουμε

$\displaystyle{ |a| + |b|+|c| = \dfrac{ |x| + |y| + |z|}{1 + |x| + |y| + |z|} <1}$ . Με άλλα λόγια για να έχει λύση το σύστημα πρέπει |a| + |b|+|c|<1

. Υποθέτουμε λοιπόν το τελευταίο και πάμε να βρούμε τις λύσεις.

Θα υποθέσω ακόμη ότι τα a,b,c

είναι μη μηδενικά γιατί τότε το σύστημα είναι εύκολο (π.χ. αν a=0

, τότε η πρώτη εξίσωση δίνει x=0

, και οι υπόλοιπες εξισώσεις είναι του ιδίου τύπου αλλά με μία μεταβλητή λιγότερη).

Θέτουμε x=at

. Από την πρώτη εξίσωση τα a,x

είναι ομόσημα και άρα $t\ge 0$ .

Οι δύο πρώτες εξισώσεις δίνουν $\displaystyle{ \dfrac {bx-ay}{1 + |x| + |y| + |z|}= ba-ab=0}$ , οπότε bx=ay

και άρα

(εδώ χρησιμοποίησα το $a\ne 0$ ). Όμοια z=ct

. Πίσω στην πρώτη εξίσωση έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac{at}{{1 + (|a| + |b| + |c|)t}} = a}$ , άρα λύνοντας ως προς

παίρνουμε $t= \dfrac {1}{1-|a| - |b|-|c|}$ . Με άλλα λόγια

$\displaystyle{x= \dfrac {a}{1-|a| - |b|-|c|}}$ , και άρα $\displaystyle{y= \dfrac {b}{1-|a| - |b|-|c|},\, z= \dfrac {c}{1-|a| - |b|-|c|}}$ .

Με έλεγχο βλέπουμε ότι τα x,y,z

που βρήκαμε ικανοποιούν το αρχικό σύστημα, όποτε είναι οι λύσεις που ψάχνουμε.

Σύστημα με απόλυτα

Σύστημα με απόλυτα

Re: Σύστημα με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση