Κλασματική ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9673
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κλασματική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 16, 2020 6:37 pm

Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle \frac{1}{{1 - {x^2}}} > \frac{{3x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - 1

24 ώρες για μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Κλασματική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Ιουν 17, 2020 2:57 pm

Καλό μεσημέρι.
Αρχικά πρέπει x^{2}\neq 1,\, x^2<1\Leftrightarrow-1< x<1\,\,(1).
\dfrac{1}{1-x^{2}}>\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}}>3x\,(2).

Η (2) ισχύει για κάθε 1<x\leq 0.

Για 0<x<1, θέτω 1-x^{2}=a^{2}\,(3)
Η (2) τώρα γίνεται:
a+\dfrac{1}{a}>3\sqrt{1-a^{2}}\Leftrightarrow a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}+2>9\left ( 1-a^{2} \right )\Leftrightarrow 10a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}>7\overset{a^{2}=b}{\Leftrightarrow}\Leftrightarrow 10b^{2}-7b+1>0\Leftrightarrow b<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta} \,b>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta }\,a^{2}>\dfrac{1}{2}.
Αντικαθιστώντας τώρα στην (3) παίρνω 1-x^{2}<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta} \,1-x^{2}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \,x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\acute{\eta}\, x>\dfrac{2}{\sqrt{5}}
Τελικά λόγω και της (1), προκύπτει x\in \left (-1,\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )\cup \left (\dfrac{2}{\sqrt{5}},1 \right ).

Η προηγούμενη λύση είχε λάθος και διαγράφηκε. Ευχαριστώ τον κ.Γιώργο για τις παρατηρήσεις.


4ptil
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Κλασματική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Τετ Ιουν 17, 2020 4:50 pm

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Τετ Ιουν 17, 2020 2:57 pm
Καλό μεσημέρι.
Αρχικά πρέπει x^{2}\neq 1,\, x^2<1\Leftrightarrow-1< x<1\,\,(1).
\dfrac{1}{1-x^{2}}>\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}}>3x\,(2).

Η (2) ισχύει για κάθε 1<x\leq 0.

Για 0<x<1, θέτω 1-x^{2}=a^{2}\,(3)
Η (2) τώρα γίνεται:
a+\dfrac{1}{a}>3\sqrt{1-a^{2}}\Leftrightarrow a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}+2>9\left ( 1-a^{2} \right )\Leftrightarrow 10a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}>7\overset{a^{2}=b}{\Leftrightarrow}\Leftrightarrow 10b^{2}-7b+1>0\Leftrightarrow b<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta} \,b>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta }\,a^{2}>\dfrac{1}{2}.
Αντικαθιστώντας τώρα στην (3) παίρνω 1-x^{2}<\dfrac{1}{5}\,\acute{\eta} \,1-x^{2}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \,x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\acute{\eta}\, x>\dfrac{2}{\sqrt{5}}
Τελικά λόγω και της (1), προκύπτει x\in \left (-1,\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )\cup \left (\dfrac{2}{\sqrt{5}},1 \right ).

Η προηγούμενη λύση είχε λάθος και διαγράφηκε. Ευχαριστώ τον κ.Γιώργο για τις παρατηρήσεις.
Με έπεισε στην αρχή ότι ήταν τριγωνομετρία αλλά βγαίνει τελικά με απλή άλγεβρα. Ωραία λύση! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης