Μέγιστη Τιμή

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 344
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Μέγιστη Τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Μάιος 27, 2020 11:12 pm

Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για \displaystyle a,b>0

\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη Τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 28, 2020 8:50 am

mick7 έγραψε:
Τετ Μάιος 27, 2020 11:12 pm
Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για \displaystyle a,b>0

\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)
\displaystyle A(a,b) = ab(9 - a - b) \le ab(9 - 2\sqrt {ab} ). Θέτω \displaystyle x = \sqrt {ab}  > 0 και αναζητώ τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης

\displaystyle f(x) = 9{x^2} - 2{x^3} που εύκολα βρίσκω ότι είναι 27 για x=3. Άρα, \displaystyle \max \left( {A(a,b)} \right) = 27 όταν a=b=3.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4644
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστη Τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 28, 2020 9:59 am

Καλημέρα σε όλους.

Οι αριθμοί a, b, 9-a-b έχουν σταθερό άθροισμα, ίσο με 9.
Το γινόμενό τους θα γίνει μέγιστο όταν γίνουν ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Αυτό συμβαίνει όταν a = b = 3.

edit: Τα παλιά σχολικά βιβλία αναφέρονται σε θετικούς όρους. Π.χ. Π. Τόγκας Άλγεβρα Β, σ. 900, Θ. 835ΙΙΙ

Για δύο όρους έχω απόδειξη ότι ισχύει και για αρνητικούς.

Επιφυλάσσομαι για την απόδειξη για τρεις όρους και άνω.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μέγιστη Τιμή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Μάιος 28, 2020 8:02 pm

mick7 έγραψε:
Τετ Μάιος 27, 2020 11:12 pm
Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για \displaystyle a,b>0

\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)
Καλησπέρα...

Ας το δούμε και με τη χρήση του τριωνύμου:

Έστω λοιπόν ότι:

\displaystyle{f(a)=A(a,b)=ab(9-a-b)=-ba^2+(9b-b^2)a \Rightarrow}

\displaystyle{ f(a)=-ba^2+(9b-b^2)a, \ \ -b<0 \  \ (1)}

Το τριώνυμο αυτό έχει: \displaystyle{D=b^2(9-b)^2 \geq 0 \  \ (2)}

Έτσι λοιπόν το τριώνυμο αυτό έχει μέγιστη τιμή την

\displaystyle{f_{max}=(-\frac{D}{4a})=-\frac{b^2(9-b)^2}{4(-b)} \Rightarrow f_{max}=\frac{1}{4}b(9-b)^2 \  \ (3)}

για \displaystyle{a=(-\frac{b}{2a})=-\frac{9b-b^2}{2(-b)}=\frac{9-b}{2} \  \ (4)}

Στη συνέχεια μελετούμε το ακρότατο της παράστασης:

\displaystyle{h(b)=\frac{1}{4}b(9-b)^2=\frac{1}{4}(b^3-18b^2+81b) \  \ (5)}

Είναι:

\displaystyle{h'(b)=\frac{1}{4}(3b^2-36b+81)=\frac{3}{4}(b^2-12b+27)=\frac{3}{4}(b-3)(b-9)  \  \ (6)}

Άρα έχουμε τον πίνακα:
Μέγιστο 11.png
Μέγιστο 11.png (7.77 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Σύμφωνα με τον ανωτέρω πίνακα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για τις τιμές του αριθμού \displaystyle{b}Q

1η Περίπτωση:
Έστω ότι είναι: \displaystyle{0<b\leq 9}, τότε από τις τιμές του πίνακα αυτού στο διάστημα αυτό και
από την (3) προκύπτει:

\displaystyle{f_{max}=27, \  \ (7)} για \displaystyle{b=3 \  \ (7) } και λόγω της (4) για \displaystyle{a=3}

2η Περίπτωση:


Έστω ότι είναι: \displaystyle{ b\geq9 }, τότε: \displaystyle{ f(a)=A(a,b)=ab(9-a-b) <0} διότι \displaystyle{9-b/leq 0 \Rightarrow 9-a-b /leq 0}.

Άρα το μέγιστο της σχέσης (7) παραμένει και για τις τιμές \displaystyle{b\in(0,\infty)}

Παρατήρηση:
Η σχέση \displaystyle{A(a,b)=ab(9-a-b), \  \ a,b \leq 0} εκφράζει μια επιφάνεια την οποία βλέπουμε στο
παρακάτω σχήμα:
Μέγιστο 12.png
Μέγιστο 12.png (41.43 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Στο σχήμα αυτό σημειώθηκε στο χώρο και το ακρότατο σημείο \displaystyle{M(3,3,27)}.

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Μέγιστη Τιμή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Μάιος 28, 2020 10:09 pm

Παραθέτω και μια ακόμα απεικόνιση της επιφάνειας αυτής

με το λογισμικό Maple. Ίσως είναι ομορφότερο!
Μέγιστο 13.png
Μέγιστο 13.png (84.68 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Στην εξίσωση:

\displaystyle{z=A(x,y)=xy(9-x-y)} έχω ορίσει τα \displaystyle{x,y} ως εξής:

\displaystyle{0<x\leq 14} και \displaystyle{0<y \leq 14}.

Επίσης έχω ορίσει το διάστημα \displaystyle{[-3,27]} ώστε να φαίνεται ένα μέρος
της όλης επιφάνειας.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 344
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Μέγιστη Τιμή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Μάιος 31, 2020 10:38 pm

Ευχαριστώ όλους όσους ασχολήθηκαν. Η λύση που έχω είναι με ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.

\displasytyle ab(9-a-b)\leq(\frac{a+b+9-a-b}{3})^3=27


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες