Παραμετρική εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μάιος 09, 2020 4:06 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες η εξίσωση

\displaystyle{ \dfrac{\left ( x^2-4x+a\right)^3}{2} = \left ( a-4x\right) \left ( 3x^4+ \left ( a-4x\right )^2\right)}

έχει μοναδική λύση στο διάστημα \displaystyle{\left ( -2-\sqrt{2}, 0 \right ]}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9578
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραμετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 10, 2020 10:35 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μάιος 09, 2020 4:06 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για τις οποίες η εξίσωση

\displaystyle{ \dfrac{\left ( x^2-4x+a\right)^3}{2} = \left ( a-4x\right) \left ( 3x^4+ \left ( a-4x\right )^2\right)}

έχει μοναδική λύση στο διάστημα \displaystyle{\left ( -2-\sqrt{2}, 0 \right ]}.
Θέτω \displaystyle t = a - 4x και έχω \displaystyle {({x^2} + t)^3} = 2t(3{x^4} + {t^2}) \Leftrightarrow {x^6} - 3{x^4}t + 3{x^2}{t^2} - {t^3} = 0 \Leftrightarrow {({x^2} - t)^3} = 0

Προκύπτει λοιπόν η εξίσωση \displaystyle {x^2} + 4x - a = 0 που έχει λύση για a\ge -4.

\displaystyle  \bullet Αν \boxed{a=-4} έχουμε διπλή ρίζα \boxed{x=-2}

\displaystyle  \bullet Αν \boxed{a>-4} έχουμε δύο ρίζες \displaystyle x =  - 2 \pm \sqrt {a + 4}

\displaystyle  - 2 - \sqrt 2  <  - 2 + \sqrt {a + 4}  \le 0 \Leftrightarrow a \le 0

\displaystyle  - 2 - \sqrt 2  <  - 2 - \sqrt {a + 4}  \le 0 \Leftrightarrow a <  - 2

Η εξίσωση έχει λοιπόν μοναδική λύση στο διάστημα \displaystyle{\left ( -2-\sqrt{2}, 0 \right ]} όταν \boxed{-2<a\le 0}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μάιος 10, 2020 12:26 pm

:coolspeak: . Λείπει άλλη μια τιμή για το a ;)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9578
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραμετρική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 10, 2020 4:38 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 12:26 pm
:coolspeak: . Λείπει άλλη μια τιμή για το a ;)
Ποια τιμή λείπει;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1190
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Μάιος 10, 2020 5:53 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 4:38 pm
Ποια τιμή λείπει;

H a=-2. Παρεμπιπτόντως, άλλαξε φάκελο η άσκηση και έψαχνα να την βρω...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9578
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραμετρική εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 10, 2020 6:06 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 5:53 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 4:38 pm
Ποια τιμή λείπει;

H a=-2. Παρεμπιπτόντως, άλλαξε φάκελο η άσκηση και έψαχνα να την βρω...
Σωστά. Παρόλο που ήξερα ότι το διάστημα είναι ανοιχτό εκεί, είχα κολλήσει ότι γι αυτή την τιμή του a είχε δύο ρίζες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης