mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm**

: Ώρα εφαπτομένης 23.png (7.13 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : AB=2AC

, το

είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η

διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 1:01 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : , το είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$

: Ώρα εφαπτομένης.23.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

$\displaystyle \tan 2\omega = 2 \Leftrightarrow \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}\omega + \tan \omega - 1 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\omega < 90^\circ } \tan \omega = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$

$\displaystyle \tan \theta = \tan (90^\circ - \omega ) = \cot \omega = \frac{1}{{\tan \omega }} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = \Phi}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 5:05 pm**

Αλλιώς, με περισσότερη Γεωμετρία και ύλη Γ' Γυμνασίου.

Με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle a = b\sqrt 5$ και έστω ότι η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

: Ώρα εφαπτομένης.23.b.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

$\displaystyle \theta = \omega + \widehat B = \frac{{\widehat C}}{2} + \widehat B = 90^\circ - \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow C\widehat AS = \theta \Leftrightarrow CS = b$

$\displaystyle \frac{{CP}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{2b}} = \frac{b}{{b\sqrt 5 - b}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{b} = \frac{2}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \Phi }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 5:43 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : , το είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$

Εστω $ST\perp AB,$ τότε το τετράπλευρο ADST

είναι εγράψιμο και τα

τρίγωνα DST,ADT

είναι ισοσκελή . Ακόμη $AB=2b, ST//AC\Rightarrow \dfrac{ST}{b}=\dfrac{2b-AD}{2b}\Leftrightarrow ST=b-\dfrac{AD}{2},(1), AD=\dfrac{2b^{2}}{a},(2), (1),(2)\Rightarrow DS=b.\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}, tan\theta =\dfrac{AD}{DS}==\phi$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 9:33 pm**

Χαιρετώ. Μια παραλλαγή για τους $\Phi$ ίλους!

: tan ..23.PNG (4.97 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Από την ομοιότητα των BAC,BAD

: $BD=2AD\Rightarrow AB= \sqrt{5}AD$ .

Από το θ. διχοτόμου: $\dfrac{BS}{SD}=\dfrac{AB}{AD}=\sqrt{5} \Rightarrow \dfrac{BD}{DS}=\sqrt{5}+1$ οπότε $tan\theta =\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{1}{2}\dfrac{BD}{SD}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 03, 2020 11:38 pm**

Μια περίπου ίδια με των: Βισβίκη και Μήτσιου

: Ώρα εφαπτομένης 23_1.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Η εξωτερική γωνία $\widehat {{\theta _{}}}$ στο $\vartriangle SAB$ είναι ίση με $\widehat {{B_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\omega _{}}}$ και άρα το τρίγωνο

CAS

είναι ισοσκελές με κορυφή το

. Αν

το ύψος

γιατί τα τρίγωνα $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAC$ είναι όμοια .

Από Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC$ έχω: ${b^2} = ka\,\,(1)$ ενώ το μήκος $DS = b - k\,\,(2)$ .

Έτσι λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ : $\tan \theta = \dfrac{{AD}}{{DS}} = \dfrac{{2k}}{{b - k}} = \dfrac{{\dfrac{{2{b^2}}}{a}}}{{b - \dfrac{{{b^2}}}{a}}} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 04, 2020 12:11 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : , το είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$

Έστω

οπότε $BC= \sqrt{5}$ και $AE \bot AS$ οπότε

$\angle E= \angle CAE=\phi \Rightarrow CE=1 \Rightarrow BE= \sqrt{5}+1=2 \Phi$

Ισχύει, $AB^2=BS . BE \Rightarrow 4=BS . 2 \Phi \Rightarrow \Phi = \dfrac{2}{BS}= \dfrac{AD}{DS}=tan \theta$ (θ.διχοτόμου)

: tanθ.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

mathematica.gr

Ώρα εφαπτομένης 23

Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

Re: Ώρα εφαπτομένης 23