Ώρα εφαπτομένης 23

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 23

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm

Ώρα  εφαπτομένης  23.png
Ώρα εφαπτομένης 23.png (7.13 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : AB=2AC , το AD είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η AS διχοτόμος της \widehat{BAD} . Υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASC})



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 03, 2020 1:01 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : AB=2AC , το AD είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η AS διχοτόμος της \widehat{BAD} . Υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASC})
Ώρα εφαπτομένης.23.png
Ώρα εφαπτομένης.23.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
\displaystyle \tan 2\omega  = 2 \Leftrightarrow \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}\omega  + \tan \omega  - 1 = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\omega  < 90^\circ } \tan \omega  = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}

\displaystyle \tan \theta  = \tan (90^\circ  - \omega ) = \cot \omega  = \frac{1}{{\tan \omega }} \Leftrightarrow \boxed{ \tan \theta  = \Phi}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 03, 2020 5:05 pm

Αλλιώς, με περισσότερη Γεωμετρία και ύλη Γ' Γυμνασίου.

Με Π. Θ βρίσκω \displaystyle a = b\sqrt 5 και έστω ότι η παράλληλη από το C στην AB τέμνει την AS στο P.
Ώρα εφαπτομένης.23.b.png
Ώρα εφαπτομένης.23.b.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
\displaystyle \theta  = \omega  + \widehat B = \frac{{\widehat C}}{2} + \widehat B = 90^\circ  - \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow C\widehat AS = \theta  \Leftrightarrow CS = b

\displaystyle \frac{{CP}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{2b}} = \frac{b}{{b\sqrt 5  - b}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{b} = \frac{2}{{\sqrt 5  - 1}} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \Phi }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Μάιος 03, 2020 5:43 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : AB=2AC , το AD είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η AS διχοτόμος της \widehat{BAD} . Υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASC})
Εστω ST\perp AB, τότε το τετράπλευρο ADST είναι εγράψιμο και τα

τρίγωνα DST,ADT είναι ισοσκελή . Ακόμη AB=2b, 

   

ST//AC\Rightarrow \dfrac{ST}{b}=\dfrac{2b-AD}{2b}\Leftrightarrow ST=b-\dfrac{AD}{2},(1), 

AD=\dfrac{2b^{2}}{a},(2),

 (1),(2)\Rightarrow DS=b.\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}, tan\theta =\dfrac{AD}{DS}==\phi
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 23.png
Ωρα εφαπτομένης 23.png (30.39 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 03, 2020 9:33 pm

Χαιρετώ. Μια παραλλαγή για τους \Phi ίλους!
tan ..23.PNG
tan ..23.PNG (4.97 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Από την ομοιότητα των BAC,BAD : BD=2AD\Rightarrow AB= \sqrt{5}AD   .

Από το θ. διχοτόμου:\dfrac{BS}{SD}=\dfrac{AB}{AD}=\sqrt{5} \Rightarrow  \dfrac{BD}{DS}=\sqrt{5}+1 οπότε tan\theta =\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{1}{2}\dfrac{BD}{SD}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi

\Phi ιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 03, 2020 11:38 pm

Μια περίπου ίδια με των: Βισβίκη και Μήτσιου
Ώρα εφαπτομένης 23_1.png
Ώρα εφαπτομένης 23_1.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Η εξωτερική γωνία \widehat {{\theta _{}}} στο \vartriangle SAB είναι ίση με \widehat {{B_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\xi _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} και άρα το τρίγωνο

CAS είναι ισοσκελές με κορυφή το C. Αν CD = k το ύψος AD = 2k γιατί τα τρίγωνα ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAC είναι όμοια .

Από Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle ABC έχω: {b^2} = ka\,\,(1) ενώ το μήκος DS = b - k\,\,(2).

Έτσι λόγω των \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) : \tan \theta  = \dfrac{{AD}}{{DS}} = \dfrac{{2k}}{{b - k}} = \dfrac{{\dfrac{{2{b^2}}}{a}}}{{b - \dfrac{{{b^2}}}{a}}} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 23

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μάιος 04, 2020 12:11 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : AB=2AC , το AD είναι το ύψος

προς την υποτείνουσα και η AS διχοτόμος της \widehat{BAD} . Υπολογίστε την : \tan(\widehat{ASC})
Έστω AC=1, AB=2 οπότε BC= \sqrt{5} και AE \bot AS οπότε

\angle E=  \angle CAE=\phi \Rightarrow CE=1 \Rightarrow BE= \sqrt{5}+1=2 \Phi

Ισχύει, AB^2=BS . BE \Rightarrow 4=BS . 2 \Phi  \Rightarrow  \Phi = \dfrac{2}{BS}= \dfrac{AD}{DS}=tan \theta  (θ.διχοτόμου)
tanθ.png
tanθ.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες