Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Al.Koutsouridis · #1

Είναι γνωστό ότι

$\displaystyle{ \dfrac{\cos 3x}{\left( 2 \cos 2x -1\right)\cos y}=\dfrac{2}{3} +\cos^2 \left (x-y\right) \quad }$ και $\displaystyle{\quad \dfrac{\sin 3x}{\left( 2 \cos 2x +1\right)\sin y}=-\dfrac{1}{3} - \sin^2 \left (x-y\right)}$ .

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της έκφρασης $\displaystyle{\cos \left (x-3y\right) }$ , αν σας δίνεται ότι είναι τουλάχιστον δύο.

Θέμα 2o (από 6), μιας έκδοσης των θεμάτων, της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2019.

#2

Οι δοσμένες ισότητες απλοποιούνται ως εξής:
Είναι $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ και $2\cos 2x-1=4\cos^2x-3$ οπότε το 1ο μέλος της πρώτης ισότητας γίνεται

$\boxed{\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{2}{3}+\cos^2(x-y)}.$

Με όμοιο τρόπο απλοποιείται και η 2η ισότητα:

$\boxed{\dfrac{\sin x}{\sin y}=-\dfrac{1}{3}-\sin^2(x-y)}$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις πλαισιωμένες ισότητες

$\dfrac{\cos x}{\cos y}-\dfrac{\sin x}{\sin y}=2$ και επομένως

$\sin(x-y)+\sin 2y=0$

$2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-3y}{2}=0$

$\bullet$ Αν $\sin\dfrac{x+y}{2}=0$ τότε $\sin(x+y)=0$ και $\cos(x+y)=1-2\sin^2\dfrac{x+y}{2}=0.$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις πλαισιωμένες ισότητες και βρίσκουμε $\dfrac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}=\dfrac{1}{3}+\cos(2x-2y)$ οπότε $\cos(2x-2y)=-\dfrac{1}{3}$

Άρα $\cos(x-3y)=\cos((2x-2y)-(x+y))=\cos(2x-2y)\cos(x+y)+\sin(2x-2y)\sin(x+y)=-\dfrac{1}{3}$

$\bullet$ Αν $\cos\dfrac{x-3y}{2}=0$ τότε $\cos(x-3y)=2\cos^2\dfrac{x-3y}{2}-1=-1.$

Άρα το $\cos(x-3y)$ λαμβάνει το πολύ δύο τιμές και αφού από υπόθεση λαμβάνει τουλάχιστον δύο τιμές, τελικά λαμβάνει ακριβώς δύο τιμές, τις $-1, \dfrac{1}{3}.$

Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Re: Τριγωνομετρικές εκφράσεις

Μέλη σε σύνδεση