Τριγωνομετρική παραμετρική

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1197
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρική παραμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 13, 2020 1:21 pm

Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\displaystyle{\sin \left ( x+6a \right) + \sin \left (\dfrac{x^2-8x-9a}{2} \right )= 12x-2x^2-6a }

έχει ρίζα τουλάχιστον ίση με 4;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Μάιος 01, 2020 9:44 am

Που τα βρίσκεις ρε Αλέξανδρε!! :clap2:

H εξίσωση γράφεται

sin\dfrac{x^2-6x+3a}{4}cos\dfrac{x^2-10x-21a}{4}=-x^2+6x-3a

Παρατηρούμε ότι

\left |sin\dfrac{z}{4}cosy  \right |\leq \left | sin\dfrac{z}{4} \right | \leq  \left | z \right | και οι ισότητες ισχύουν ακριβώς όταν z=0. Επομένως

x^2-6x+3a=0

Eπειδή για x\geqslant 4 είναι x^2-6x\geqslant -8 , έχουμε λύση x\geqslant 4 ακριβώς όταν

-3a\geq -8 \Leftrightarrow a \leq \dfrac{8}{3}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1197
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 01, 2020 11:22 am

:coolspeak: Η συγκεκριμένη άσκηση αν θυμάμαι καλά είναι από το Μηχανικό-Μαθηματικό της Μόσχας, θα το ψάξω και θα ανανεώσω την αρχική ανάρτηση και την πηγή. Είχα ενδοιασμό για το που να τοποθετήσω την άσκηση γιατί στη λύση χρησιμοποιείται η ανισότητα |\sin x| \leq x. Η ανισότητα αυτή αποδεικνύεται στο σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου αλλά, χρησιμοποιεί ύλη των προηγούμενων τάξεων, οπότε αποφάσισα να την τοποθετήσω εδώ.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am

Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η \displaystyle{f(x)=sinx+4x} είναι 1-1. Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: \displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}
Άρα για A=-B και x \geqslant 4 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα a \leq \dfrac{8}{3}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1197
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 01, 2020 12:03 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η \displaystyle{f(x)=sinx+4x} είναι 1-1. Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: \displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}
Άρα για A=-B και x \geqslant 4 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα a \leq \dfrac{8}{3}.
Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης f(x)=\sin x +4x.

\displaystyle{| \sin A  + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}

Από την άλλη | \sin A  + \sin B |  = 4|A+B| . Άρα 4|A+B| \leq A+B  \Rightarrow A+B=0.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 01, 2020 12:29 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 12:03 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η \displaystyle{f(x)=sinx+4x} είναι 1-1. Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: \displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}
Άρα για A=-B και x \geqslant 4 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα a \leq \dfrac{8}{3}.
Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης f(x)=\sin x +4x.

\displaystyle{| \sin A  + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}

Από την άλλη | \sin A  + \sin B |  = 4|A+B| . Άρα 4|A+B| \leq A+B  \Rightarrow A+B=0.
Σαφέστατα αλλά δεν μίλησα για αυτό το σημείο, απλά θεώρησα ότι δεν είναι γνωστή για την Β' Λυκείου η ανισότητα: |sinx|\leq {|x|} (δυστυχώς έχω πολύ καιρό να διδάξω στην τάξη αυτή) και θα έπρεπε πρώτα να αποδειχθεί. Εντάξει η άσκηση είναι πολύ καλή και η εδώ κουβέντα επίσης. Και πάλι καλή Πρωτομαγιά.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Παρ Μάιος 01, 2020 12:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Μάιος 01, 2020 12:31 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 12:03 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 11:39 am
Καλημέρα και Καλή Πρωτομαγιά.

Πολύ Όμορφη η άσκηση αλλά σίγουρα και η λύση του Κώστα. Προσωπικά έλυσα το όμορφο αυτό θέμα χρησιμοποιώντας ότι η \displaystyle{f(x)=sinx+4x} είναι 1-1. Δεν το τοποθέτησα όμως εδώ γιατί θεώρησα ότι η μέθοδος χωρίς χρήση παραγώγων που είναι άμεση, είναι για μαθητή λίγο επίπονη. Η ανάλυση που κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις είναι να δούμε καταρχάς αν υπάρχει σχέση μεταξύ των τόξων που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και του "αποτελέσματος". Εδώ για παράδειγμα βλέπουμε ότι: \displaystyle{A = x + 6a,\;B = \frac{{{x^2} - 8x - 9a}}{2} \Rightarrow A + B = \frac{{{x^2} - 6x +3 a}}{2}.}
Άρα για A=-B και x \geqslant 4 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα a \leq \dfrac{8}{3}.
Καλή Πρωτομαγιά! Καλημέρα!

Τα παραπάνω πολύ πιθανόν να είναι και ο τρόπος κατασκευής της άσκησης. Δηλαδή η επιλογή μια συνάρτησης με χαρακτηριστικά που θέλουμε και το ντύσιμό της με άλλες δυο τρεις ιδιότητες που θέλουμε να εξετάσουμε.

Πάντως αν κάνουμε τις παραπάνω αντικαταστάσεις, πάλι μπορούμε να αποφύγουμε την μελέτη της συνάρτησης f(x)=\sin x +4x.

\displaystyle{| \sin A  + \sin B | \leq |\sin A | +|\sin B | \leq A+B}

Από την άλλη | \sin A  + \sin B |  = 4|A+B| . Άρα 4|A+B| \leq A+B  \Rightarrow A+B=0.
Επ!! Σωτήρη, χρόνια Πολλά!!

'Αλεξ, έδω είχα πρόβλημα με το αντίστροφο.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1197
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τριγωνομετρική παραμετρική

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 01, 2020 2:12 pm

rek2 έγραψε:
Παρ Μάιος 01, 2020 12:31 pm

'Αλεξ, έδω είχα πρόβλημα με το αντίστροφο.

Και το αντίστροφο ισχύει

A+B=0 \Rightarrow A=-B \Rightarrow \sin A = \sin (- B) \Rightarrow \sin A = - \sin B \Rightarrow \sin A + \sin B =0 \Rightarrow

 \Rightarrow \sin A + \sin B = 4 \cdot  (0) \Rightarrow \sin A + \sin B = 4 (A+B) .

Ή εννοείται κάτι άλλο;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης