Τεταρτοβάθμια

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η εξίσωση : (x^2+k)^2=(2x+k+3)^2

.

Α) Δείξτε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού

, η εξίσωση έχει δύο σταθερές ρίζες .

Β) Για ποιες τιμές του

, η εξίσωση έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες ;

Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι η : $\rho=0$ , ποια είναι η τέταρτη ρίζα της εξίσωσης ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 11:50 am
$\bigstar$ Δίνεται η εξίσωση : .

Α) Δείξτε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού , η εξίσωση έχει δύο σταθερές ρίζες .

Β) Για ποιες τιμές του , η εξίσωση έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες ;

Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι η : $\rho=0$ , ποια είναι η τέταρτη ρίζα της εξίσωσης ;

Α) Για οποιαδήποτε τιμή του

είναι $\displaystyle {x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=-1}$ ή $\boxed{x=3}$

Β) Θα πρέπει η εξίσωση $\displaystyle {x^2} + k = - 2x - k - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2k + 3 = 0$ να έχει δύο πραγματικές και

άνισες ρίζες. Δηλαδή, $\displaystyle \Delta > 0 \Leftrightarrow - 8(k + 1) > 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{k<-1}$

Γ) Αν $\rho=0,$ τότε $\displaystyle {k^2} = {(k + 3)^2} \Leftrightarrow k = - \frac{3}{2},$ άρα η εξίσωση γράφεται $\displaystyle {\left( {{x^2} - \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {2x + \frac{3}{2}} \right)^2}$ και η τέταρτη ρίζα είναι η $\boxed{x=-2}$

#3

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγουμε εάν γράψουμε πρώτα τη δοθείσα εξίσωση με το δεύτερο μέλος το 0, και κάνοντας παραγοντοποίηση με διαφορά τετραγώνων:

$\displaystyle \begin{aligned} (x^2+k)^2=(2x+k+3)^2&\iff (x^2+k)^2-(2x+k+3)^2=0\\ &\iff (x^2-2x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ &\iff (x+1)(x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ \end{aligned}$

Α. Προφανώς, δύο λύσεις είναι οι x=-1

και

.

Β. Ομοίως όπως στην παραπάνω λύση.

Γ. Είναι 2k+3=0

, οπότε

$(x+1)(x-3)(x^2+2x)=0\iff (x+1)(x-3)(x+2)x=0,$

οπότε η τέταρτη λύση είναι η x=-2

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τεταρτοβάθμια

Τεταρτοβάθμια

Re: Τεταρτοβάθμια

Re: Τεταρτοβάθμια

Μέλη σε σύνδεση