Ανίσωση

Συντονιστής: exdx

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6098
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 25, 2020 9:51 pm

Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{\frac{x^2}{(x+1-\sqrt{x+1})^2}<\frac{x^2+3x+18}{(x + 1)^2}}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:38 am

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 9:51 pm
Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{\frac{x^2}{(x+1-\sqrt{x+1})^2}<\frac{x^2+3x+18}{(x + 1)^2}}
Καλημέρα!

Πρέπει \rm x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1.Επίσης \rm x+1\neq 0\Leftrightarrow x\neq -1 και \rm x+1\neq \sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\neq 0,x\neq -1.
Θέτω \rm x+1=y>0 και η ανίσωση γίνεται
\rm \dfrac{(y-1)^2}{\left ( y-\sqrt{y} \right )^2}< \dfrac{\left ( y-1 \right )^2+3\left ( y-1 \right )+18}{y^2}\Leftrightarrow \left (\dfrac{y-1}{\sqrt{y}-1} \right )^2\cdot \dfrac{1}{y}< \dfrac{y^2-2y+1+3y-3+18}{y^2}\Leftrightarrow
\rm \left ( \dfrac{\left ( \sqrt{y}+1 \right )\left ( \sqrt{y}-1 \right )}{\sqrt{y}-1} \right )^2 < \dfrac{y^2+y+16}{y}\Leftrightarrow
\rm \Leftrightarrow y+2\sqrt{y}+1< \dfrac{y^2+y+16}{y}\Leftrightarrow y^2+2y\sqrt{y}+y < y^2+y+16\Leftrightarrow \sqrt{y^3}< 8\Leftrightarrow y^3<4^3\Leftrightarrow y< 4
Είναι λοιπόν \rm x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,3 \right )


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Manolis Petrakis και 1 επισκέπτης