Εξίσωση

Συντονιστής: exdx

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 25, 2020 9:50 pm

Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 720}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 10:21 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 9:50 pm
Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 720}
Καλησπέρα!

Παρατηρώ πως 720=6!.
Αν \rm x> 6 τότε η \rm f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) είναι αύξουσα και αφού 720=6! λύση η \rm x-6=1 δηλαδή \rm x=7.Προφανώς οι 1,2,3,4,5,6 δεν μπορεί να είναι λύσεις.
Αν \rm 5<x<6 τότε \rm f(x)<0 άτοπο.Αν \rm 4<x<5 τότε \rm f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\left | x-5 \right |\left | x-6 \right |< 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 2<720 άτοπο.
Αν \rm 3<x<4 τότε \rm f(x)<0 άτοπο.Αν \rm 2<x<3 τότε \rm f(x)=(x-1)(x-2)\left | x-3\right |\left | x-4\right |\left | x-5 \right |\left | x-6 \right |< 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4<720 άτοπο.
Αν \rm 1<x<2 τότε \rm f(x)<0 άτοπο.Αν \rm 0<x<1 τότε \rm f(x)=\left | x-1\right |\left | x-2\right |\left | x-3\right |\left | x-4\right |\left | x-5 \right |\left | x-6 \right |< 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720 άτοπο.
Η \rm x=0 είναι δεκτή.
Αν \rm x<0 θέτω \rm x=-y,y>0 και η εξίσωση γίνεται \rm g(y)=(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)(y+6)=720
Η \rm g(y) όμως είναι αύξουσα και έτσι \rm g(y)>6! για κάθε \rm y>0.

Μοναδικές λύσεις λοιπόν οι \rm x=0,x=7


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 25, 2020 10:22 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 9:50 pm
Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 720}

Παρατηρούμε ότι (-1)\cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \cdot (-5) \cdot (-6)=720. Συνεπώς , μετά από αυτή την ανάλυση έχουμε ότι x-1=-1 και x-1=6, δηλ. x=0 και x=7. Και αυτές είναι και οι λύσεις.


Παλαιότερο θέμα εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Μαρ 25, 2020 10:46 pm

Αναδιατάσσοντας τις παρενθέσεις :
\displaystyle \begin{array}{l} 
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 720 \Leftrightarrow \\ 
 \Leftrightarrow ({x^2} - 7x + 6)({x^2} - 7x + 10)({x^2} - 7x + 12) = 720 
\end{array}
Έστω \displaystyle u = {x^2} - 7x + 9
Τότε :
\displaystyle \begin{array}{l} 
(u - 3)(u + 1)(u + 3) = 720 \Leftrightarrow ({u^2} - 9)(u + 1) = 720 \Leftrightarrow \\ 
 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 9u - 729 = 0 \Leftrightarrow ({u^3} - {9^3}) + u(u - 9) = 0 \Leftrightarrow \\ 
 \Leftrightarrow (u - 9)({u^2} + 10u + 81) = 0 \Leftrightarrow u = 9 
\end{array}

Άρα : \displaystyle {x^2} - 7x + 9 = 9 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 7


Kαλαθάκης Γιώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Μαρ 26, 2020 10:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 10:22 pm
socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 9:50 pm
Λυθήτω στο \Bbb{R}

\displaystyle{(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 720}

Παρατηρούμε ότι (-1)\cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \cdot (-5) \cdot (-6)=720. Συνεπώς , μετά από αυτή την ανάλυση έχουμε ότι x-1=-1 και x-1=6, δηλ. x=0 και x=7. Και αυτές είναι και οι λύσεις.


Παλαιότερο θέμα εδώ.

Δεν καταλαβαίνω.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης