Ερώτηση

Συντονιστής: exdx

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2752
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ερώτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 6:42 pm

Σωστό η Λάθος

Η f(x)=\sin x

έχει περίοδο 16\pi ;



Λέξεις Κλειδιά:
kfd
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Ερώτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Σάβ Νοέμ 23, 2019 6:56 pm

Ναι, γιατί \displaystyle{f\left ( x+16\pi \right )=f\left ( x-16\pi \right )=f\left ( x \right )\forall x\epsilon \mathbb{R}} και \displaystyle{16\pi >0}.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ερώτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:26 pm

Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει f(x+T)=f(x-T)=f(x) ;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2752
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:27 pm

kfd έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 6:56 pm
Ναι, γιατί \displaystyle{f\left ( x+16\pi \right )=f\left ( x-16\pi \right )=f\left ( x \right )\forall x\epsilon \mathbb{R}} και \displaystyle{16\pi >0}.
Σωστά.
Αλλά το βιβλίο της Β Λυκείου στην σελίδα 74 λέει ότι έχει περίοδο 2\pi
Μήπως είναι Λάθος;

Περιμένω απαντήσεις και από Μαθηματικούς που διδάσκουν στην Β Λυκείου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2752
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:30 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:26 pm
Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει f(x+T)=f(x-T)=f(x) ;
Χρήστο το σχολικό.
Σελίδα σελίδα 73,74.
Το πως ορίζουμε την περίοδο το ξέρω. Στα κανονικά Μαθηματικά.
Στα σχολικά δεν ξέρω και θέλω να μάθω.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ερώτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:45 pm

Ναι καμιά διαφωνία έτσι όπως το ορίζει το σχολικό
DeepinScreenshot_select-area_20191123194440.png
DeepinScreenshot_select-area_20191123194440.png (12.97 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές
Η απάντηση στο ερώτημα σου είναι Σωστή.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4501
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ερώτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:03 pm

Καλησπέρα σε όλους. Θα γράψω συνοπτικά τη γνώμη μου, καθώς και τι αναφέρω στην τάξη όταν συζητάμε το θέμα.

Με βάση τον ορισμό του βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (που παραθέτει παραπάνω ο Χρήστος), κάθε πραγματικός, θετικός T που πληροί τον ορισμό είναι Περίοδος.

Στα παλιά Σχολικά υπήρχε ο ορισμός της Πρωτεύουσας Περιόδου (δείτε παρακάτω Μαθηματικά Α΄ Λυκείου, Βαβαλέτσκου - Μπούσγου 1976), σ. 273

23-11-2019 Τριγωνομετρία.jpg
23-11-2019 Τριγωνομετρία.jpg (207.24 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

Με τον καιρό (για λόγους απλοποίησης (;) - σύμπτυξης (;) ή άλλους ....) τα βιβλία αναφέρονται στην "Πρωτεύουσα Περίοδο" ως "Περίοδο".

Θεωρώ καλό να κάνουμε μια διευκρίνηση στους μαθητές που θα ήθελαν να ακούσουν.

Δείτε κι ΕΔΩ μια σχετική συζήτηση προ πενταετίας.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ερώτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:12 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:30 pm
Christos.N έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:26 pm
Δεν ορίζουμε την περίοδο με το ελάχιστο μήκος στο οποίο ισχύει f(x+T)=f(x-T)=f(x) ;
Χρήστο το σχολικό.
Σελίδα σελίδα 73,74.
Το πως ορίζουμε την περίοδο το ξέρω. Στα κανονικά Μαθηματικά.
Στα σχολικά δεν ξέρω και θέλω να μάθω.
Για τα υπογραμμισμένα. H σταθερή είναι περιοδική; Η Dirichlet;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ερώτηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:18 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:03 pm
Καλησπέρα σε όλους. Θα γράψω συνοπτικά τη γνώμη μου, καθώς και τι αναφέρω στην τάξη όταν συζητάμε το θέμα.

Με βάση τον ορισμό του βιβλίου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου (που παραθέτει παραπάνω ο Χρήστος), κάθε πραγματικός, θετικός T που πληροί τον ορισμό είναι Περίοδος.

Στα παλιά Σχολικά υπήρχε ο ορισμός της Πρωτεύουσας Περιόδου (δείτε παρακάτω Μαθηματικά Α΄ Λυκείου, Βαβαλέτσκου - Μπούσγου 1976), σ. 273


23-11-2019 Τριγωνομετρία.jpg


Με τον καιρό (για λόγους απλοποίησης (;) - σύμπτυξης (;) ή άλλους ....) τα βιβλία αναφέρονται στην "Πρωτεύουσα Περίοδο" ως "Περίοδο".

Θεωρώ καλό να κάνουμε μια διευκρίνηση στους μαθητές που θα ήθελαν να ακούσουν.

Δείτε κι ΕΔΩ μια σχετική συζήτηση προ πενταετίας.
κ. Γιώργο καλησπέρα. Ο ορισμός, μπάζει κατά την γνώμη μου. Έτσι όπως είναι διατυπωμένος θεωρεί ότι αν υπάρχει περίοδος p τότε υπάρχει και ελάχιστη περίοδος πράγμα που είναι λάθος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2752
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:37 pm

Για να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό.
https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function
Προφανώς και στα δύο σχολικά ο ορισμός ''μπάζει''.
Αλλά στο παρόν σχολικό μπάζει πάρα πολύ.
Σε τέτοιο σημείο που να παραποιεί τα Μαθηματικά.
Προφανώς υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν ελάχιστη θετική περίοδο.
Εγραψε δύο ο Λάμπρος Κατσάπας.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ερώτηση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:43 pm

Κύριε Λάμπρο με μια πρώτη ματιά βλέπω ότι

στον απειροστικό του Spivak(Ελληνική έκδοση) του Σ.Ντούγια ο ορισμός είναι ανάλογος με αυτόν του βιβλίου.
στον απειροστικό του Finney(Ελληνική έκδοση) ως η ελάχιστη τιμή.
στον απειροστικό του Courant δίνεται όπως στο βιβλίο αλλά συμπληρώνει ότι δύναται να έχει και μικρότερες περιόδους.
στην wikipedia δίνεται ορισμός με ελάχιστη περίοδο.
Ο Brand (EME 1984) δεν τις αναφέρει καν.

Από τα παραπάνω άλλες φορές ναι άλλες φορές όχι.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5374
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ερώτηση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:21 pm

Ποικίλουν οι ορισμοί. Ο πιο απλός είναι αυτός που δείχνει η εικόνα . Αυτόν είχα πάντα στο μυαλό μου, δεν ξέρω από πότε κι αν τον είχαν παλιά τα σχολικά βιβλία.

A function f is said to be periodic if, for some nonzero constant P, it is the case that

 f ( x + P ) = f ( x )

for all values of x in the domain. A nonzero constant P for which this is the case is called a period of the function. If there exists a least

positive[1] constant P with this property, it is called the fundamental period (also primitive period, basic period, or prime period.)

Επίσης, η έκφραση '' η συνάρτηση ... έχει περίοδο Τ=... '' είναι κάπως παραπλανητική . Θα έπρεπε να λέγεται ότι :

'' Μια περίοδος της συνάρτησης f είναι η ....'' ή ακόμα :

'' Το T=... είναι περίοδος της f ''.

Γενικά, όπως λέει και ο Σταύρος, ο ορισμός του σχολικού βιβλίου, έχει πολλά προβλήματα.Καλύτερα να έλεγε στο τέλος :

'' ο αριθμός T είμαι μια περίοδος της f '' .

Να πούμε όμως ότι το  f ( x + P ) =  f ( x - P ) = f ( x )  πρέπει να υπάρχει , γιατί αλλιώς χαλάει η περιοδικότητα στη γραφική παράσταση.

Με είχε απασχολήσει αυτό το σημείο πολύ παλιά και το είχα γράψει και σε βιβλίο. Το σχολικό βιβλίο των Βαρουχάκη κλπ είχε τον ορισμό

όπως τον λέει παραπάνω η Wikipedia, αλλά από μια οπτική γωνία

έπρεπε να συμπληρωθεί και με το f(x-T)=f(x+T)=f(x) .

Δεν ξέρω όμως αν πράγματι αυτή είναι η καλύτερη διευθέτηση ή καλύτερα να μείνει ο παλιός ορισμός. Πάντως, αυτός που έχει το βιβλίο

πρέπει να τροποποιηθεί και να το πούμε στο ΙΕΠ.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ερώτηση

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Νοέμ 23, 2019 10:43 pm

Και για να δούμε την ακριβώς προηγούμενη διάδοχη κατάσταση στα σχολικά, αντιγράφω απο το σχολικό της άλγεβρας Β' Λυκείου του Βαρουφάκη κ.α (1985) (να είναι καλά πάντα ο parmenides51 )
DeepinScreenshot_select-area_20191123223914.png
DeepinScreenshot_select-area_20191123223914.png (222.19 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές
DeepinScreenshot_select-area_20191123223721.png
DeepinScreenshot_select-area_20191123223721.png (117.62 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Ερώτηση

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Σάβ Νοέμ 23, 2019 11:01 pm

Την επόμενη εβδομάδα θα μπούμε στην παράγραφο 3.4 “Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις”. Τον ορισμό του εν χρήσει σχολικού δεν τον κατάλαβα ποτέ. Ποτέ δεν χώνεψα εκείνο το f(x-T)=... , αφού αν ο αριθμός  T \in \mathbb{R}^* είναι περίοδος μιας συνάρτησης f , τότε και κάθε αριθμός της μορφής kT , k\in \mathbb{Z}^* είναι περίοδος της f, εννοείται με την προυπόθεση ότι x+kT ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Προφανώς το σχολικό χρησιμοποιεί τον συγκεκριμένο ορισμό για κάποιο λόγο, τον οποίο όμως εγώ αγνοώ.
Εγώ χρησιμοποιώ τον ορισμό του σχολικού της δεκαετίας του 80 (Βαρουχάκης ,Αδαμόπουλος,…-A' έκδοση 1983) που αναφέρει o Χρήστος παραπάνω.

Είναι προφανές λοιπόν ότι στην αρχική ερώτηση του Σταύρου απαντώ ότι και ο αριθμός 16\pi είναι περίοδος της f.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8695
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ερώτηση

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 24, 2019 9:00 am

Αντιγράφω από το βιβλίο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ιωάννου Φ. Πανάκη 1973


Περίοδος συναρτήσεως: Μία συνάρτησις y=f(x)|A λέγεται περιοδική εις το A, εάν και μόνον εάν, \displaystyle \forall x \in A,

υπάρχη \displaystyle \xi  \ne 0 ανεξάρτητον του x και \displaystyle (x + \xi ) \in A, τοιούτον ώστε: \displaystyle f(x + \xi ) = f(x)

'Εκαστον τοιούτον \xi καλείται περίοδος της συναρτήσεως. Η μικροτέρα τιμή του \xi ονομάζεται πρωτεύουσα περίοδος ή

απλώς περίοδος της συναρτήσεως.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2752
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:43 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:21 pm
Ποικίλουν οι ορισμοί. Ο πιο απλός είναι αυτός που δείχνει η εικόνα . Αυτόν είχα πάντα στο μυαλό μου, δεν ξέρω από πότε κι αν τον είχαν παλιά τα σχολικά βιβλία.

A function f is said to be periodic if, for some nonzero constant P, it is the case that

 f ( x + P ) = f ( x )

for all values of x in the domain. A nonzero constant P for which this is the case is called a period of the function. If there exists a least

positive[1] constant P with this property, it is called the fundamental period (also primitive period, basic period, or prime period.)
Ο παραπάνω ορισμός είναι αυτός που υπάρχει στην wikipedia.
Οπου [1] είναι παραπομπή και λέει κάτω ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν ελάχιστη θετική περίοδο.
Νομίζω ότι είναι ο πιο πλήρης ορισμός.
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:21 pm
Να πούμε όμως ότι το  f ( x + P ) =  f ( x - P ) = f ( x )  πρέπει να υπάρχει , γιατί αλλιώς χαλάει η περιοδικότητα στη γραφική παράσταση.
Το γιατί δεν το βάζουν έχει να κάνει με το εξής:
Οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν να κάνουν με περιοδικά φυσικά φαινόμενα.
Εκει η μεταβλητή είναι ο χρόνος t. Επειδή συνήθως ο χρόνος ξεκινάει από το 0 η το περιοδικό φαινόμενο
από μία χρονική στιγμή t_{0}\geq 0 το πεδίο ορισμού είναι μη αρνητικοί αριθμοί.
Πχ Η f(t)=C\sin (\omega t+\varphi )
περιγράφει μια ταλάντωση.
Δεν θα έπρεπε να πούμε ότι είναι περιοδική συνάρτηση;

Και κάτι τελευταίο για τον ορισμό του παρόντος σχολικού.
Εφόσον γράφει ότι πρέπει f(x-T)=f(x+T)=f(x)
Είναι περιττό το x-T,x+T,x\in A
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την f.
Δεν μπορώ να γράφω f:A\rightarrow \mathbb{R}
και f(r) για r\notin A


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5374
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ερώτηση

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:47 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:43 pm
.........................
Είναι περιττό το x-T,x+T,x\in A
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την f.
Δεν μπορώ να γράφω f:A\rightarrow \mathbb{R}
και f(r) για r\notin A
Σταύρο, αυτό και εγώ το θεωρώ περιττό( και για αυτό δεν το πρότεινα πουθενά), τόσο εδώ, όσο και στις άρτιες -περιττές. Μερικοί διαφωνούνε όμως .

Καλό βράδυ!


stranger
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ερώτηση

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 27, 2019 6:19 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 8:43 pm
Και κάτι τελευταίο για τον ορισμό του παρόντος σχολικού.
Εφόσον γράφει ότι πρέπει f(x-T)=f(x+T)=f(x)
Είναι περιττό το x-T,x+T,x\in A
γιατί αυτό προκύπτει αφου έχουμε την f.
Δεν μπορώ να γράφω f:A\rightarrow \mathbb{R}
και f(r) για r\notin A
Για λόγους πληρότητας και κομψότητας καλό είναι να γράφεται ότι x-T,x+T,x \in A.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης