Ώρα τριγωνομετρίας

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1083
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ώρα τριγωνομετρίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Νοέμ 08, 2019 6:33 pm

Γεια σας.
Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG
Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG (6.39 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC=1 ενώ BC=a>1.

Θεωρούμε το E \in AB ώστε \widehat{ACE}=30^{0} και φέρουμε DE \parallel AC...D\in BC. Αν είναι CD=1 τότε

Να εξεταστεί αν το BC=a είναι ρίζα της x^{3}-3x+1=0.Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1817
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Νοέμ 09, 2019 9:29 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 6:33 pm
Γεια σας.
Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC=1 ενώ BC=a>1.

Θεωρούμε το E \in AB ώστε \widehat{ACE}=30^{0} και φέρουμε DE \parallel AC...D\in BC. Αν είναι CD=1 τότε

Να εξεταστεί αν το BC=a είναι ρίζα της x^{3}-3x+1=0.Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Τα τρίγωνα BED,ABC είναι όμοια και DE=\dfrac{a-1}{a}=BE,EA=1-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a}

Θεώρημα Stewart στο τρίγωνο ABC,EC^{2}=\dfrac{a^{3}+a^{2}-2a+1}{a^{2}},,
και νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο

EAC,3(a^{3}+a^{2}-2a+1)=(a^{2}+2a-2)^{2}\Leftrightarrow 

               a^{4}+a^{3}-3a^{2}-2a+1=0\Leftrightarrow a^{3}=\dfrac{3a^{2}+2a-1}{a+1},(*)


Ισχύει 3a^{2}+2a-1=(a+1)(3a-1)

(*)\Rightarrow a^{3}=3a-1


Δηλαδή

a^{3}-3a+1=0
Συνημμένα
Ωρα Τριγωνομετρίας.png
Ωρα Τριγωνομετρίας.png (33.04 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1083
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 11, 2019 6:48 pm

Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Γιάννη για την ωραία λύση! Ας θέσω ένα επιπλέον ζητούμενο:

Με τα αρχικά δεδομένα σε ισχύ να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ABC .
Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8411
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα τριγωνομετρίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 12, 2019 6:33 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 6:48 pm
Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Γιάννη για την ωραία λύση! Ας θέσω ένα επιπλέον ζητούμενο:

Με τα αρχικά δεδομένα σε ισχύ να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ABC .
Ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος.
Καλησπέρα!
Ώρα τριγ...png
Ώρα τριγ...png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές
Από το ισοσκελές ABC (AB=AC=1) προκύπτει ότι \displaystyle \cos B = \frac{a}{2}. Αλλά, \displaystyle DE||AC \Rightarrow AE = \frac{1}{a}

Ν. ημιτόνων στο AEC: \displaystyle \frac{{\frac{1}{a}}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{1}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{a}{2} = \cos B \Leftrightarrow \boxed{\theta=90^\circ-\widehat B} (1)

\displaystyle \theta  + 30^\circ  = 2\widehat B\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{\widehat B = 40^\circ  = \widehat C,\widehat A = 100^\circ}

Από αυτά τα αποτελέσματα, θα αποδείξω τώρα την αρχική άσκηση:

\displaystyle \cos 120^\circ  = 4{\cos ^3}40^\circ  - 3\cos 40^\circ  = 4{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} - \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} = \frac{{{a^3} - 3a}}{2} \Leftrightarrow \boxed{a^3-3a+1=0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης