Γεωμετρικό σύστημα

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γεωμετρικό σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 07, 2019 10:51 am

Να λυθεί ( χωρίς τη βοήθεια λογισμικού ) το σύστημα :

\left\{\begin{matrix}
x+y & =6\\ 
 z+w& =8\\ 
 \sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}& =10\\ 
 x^2+z^2-y^2&=0 
\end{matrix}\right.

Δείτε την "πηγή" του συστήματος στο παρακάτω σχήμα . ( M,N ) μέσα .
Γεωμετρικό  σύστημα.png
Γεωμετρικό σύστημα.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Σημ. "Χωρίς βοήθεια λογισμικού" σημαίνει ότι πρέπει να φαίνεται η πορεία της λύσης .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6724
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικό σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 07, 2019 1:42 pm

\left\{ \begin{gathered}   x + y = 6\,\,\,(1) \hfill \\   z + w = 8\,\,\,(2) \hfill \\   \sqrt {{x^2} + {z^2}}  + \sqrt {{y^2} + {w^2}}  = 10\,\,\,(3) \hfill \\   {x^2} + {z^2} = {y^2}\,\,(4) \hfill \\  \end{gathered}  \right.

Από την (3) λόγω των (1) και (2) έχω :

{x^2} - {y^2} + {z^2} - {w^2} = 100 - 20\sqrt {{y^2} + {w^2}}  \Rightarrow 6(x - y) + 8(z - w) = 100 - 20\sqrt {{y^2} + {w^2}}

Η οποία γίνεται : 3y + 4w = 5\sqrt {{y^2} + {w^2}} αν θέσω y = kw\,\,,\,\,w \ne 0 η προηγούμενη δίδει

{\left( {4k - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{k = \frac{3}{4}} επί της ουσίας εδώ τελειώσαμε αφού:


\left\{ \begin{gathered}   x = \frac{3}{4}(8 - w) \hfill \\   z = 3\sqrt {w - 4}  \hfill \\   y = \frac{3}{4}w \hfill \\  \end{gathered}  \right. και από την (4) έχω \boxed{w = 5} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   z = 3 \hfill \\   x = \frac{9}{4} \hfill \\   y = \frac{{15}}{4} \hfill \\  \end{gathered}  \right.

Θα δω αργότερα τη Γεωμετρική ερμηνεία.
Συνημμένα
Σύστημα.png
Σύστημα.png (34.53 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4404
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Γεωμετρικό σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Νοέμ 07, 2019 8:15 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια γεωμετρική προσέγγιση (με ολίγη αναγκαστική άλγεβρα στο τέλος).


7-11-2019 Γεωμετρία.png
7-11-2019 Γεωμετρία.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Στις πλευρές ορθής γωνίας παίρνουμε τμήματα OC = x, OD = z, οπότε (από την (4) έχουμε DC = y).

Προεκτείνουμε την OC κατά CA = y και την OE κατά EB = w, οπότε από την (1) είναι OA = x+y = 6 και από την (2) είναι OB = z+w = 8, άρα AB = 10.

Φέρνουμε κάθετη στη DC στο D, η οποία κόβει την προέκταση της CO στο E, οπότε  \displaystyle CE = \sqrt {{y^2} + {w^2}} , άρα από την (3) είναιAE = 10.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DEC είναι y^2=x\cdot CE = x(10-y).

Οπότε y^2=(6-y)(10-y) από όπου προκύπτει  \displaystyle y = \frac{{15}}{4}κι εύκολα βρίσκουμε  \displaystyle x = 6 - \frac{{15}}{4} = \frac{9}{4},\;\;z = \sqrt {{y^2} - {x^2}}  = \sqrt {\frac{{225}}{{16}} - \frac{{81}}{{16}}}  = 3,\;\;w = 8 - z = 5 .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γεωμετρικό σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 08, 2019 1:03 pm

Γεωμετρική ερμηνεία.png
Γεωμετρική ερμηνεία.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Το τετράπλευρο έχει κάθετες διαγωνίους BD=6 , AC=8 , άρα : MN=5 .

Ακόμη : 2MN=2OM+2ON=AB+CD=\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}=10 .

Επιπλέον : \dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}=\dfrac{3}{4} , δηλαδή : x=\dfrac{3}{4}z ,y=\dfrac{3}{4}w . Όλα αυτά

σε συνδυασμό με την OD=AB , δίνουν διάφορους τρόπους επίλυσης ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6724
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικό σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 08, 2019 3:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 1:03 pm
Γεωμετρική ερμηνεία.png Το τετράπλευρο έχει κάθετες διαγωνίους BD=6 , AC=8 , άρα : MN=5 .

Ακόμη : 2MN=2OM+2ON=AB+CD=\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+w^2}=10 .

Επιπλέον : \dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{w}=\dfrac{x+y}{z+w}=\dfrac{3}{4} , δηλαδή : x=\dfrac{3}{4}z ,y=\dfrac{3}{4}w . Όλα αυτά

σε συνδυασμό με την OD=AB , δίνουν διάφορους τρόπους επίλυσης ...
Κι εδώ γιατί βιάστηκες !! χθες βράδυ αυτό έκανα αλλά δεν μου έμεινε ώρα σήμερα να γράψω τίποτα(Έχουμε αύριο το διαγωνισμό κι είμαι στο παράρτημα μέλος με ότι αυτό συνεπάγεται)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες