Γνησίως μονότονη συνάρτηση

M.S.Vovos · #1

Καλησπέρα στην παρέα του

! Μια ερώτηση θα ήθελα να κάνω. Φέτος ανέλαβα ένα μαθητή Β' λυκείου. Με εξέπληξε το γεγονός ότι παντού στο διαδίκτυο και στα βοηθήματα αναφέρεται:

1) Ο ορισμός της γνησίως μονότονης συνάρτησης (το πρόβλημα μου δεν είναι εδώ)
2) Εκτεταμένη ασκησιολογία γύρω από ικανές συνθήκες για να είναι μια

γνησίως μονότονη και όχι μόνο (εδώ προβληματίζομαι).

Το λέω αυτό γιατί από ότι βλέπω στο σχολικό βιβλίο δεν υπάρχει καμία αναφορά στην έννοια της γνησίως μονότονης συνάρτησης.

Τελικά, θα πρέπει να το διδάξω, τι πρέπει να κάνω;

Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #2

Αν πας στην σελίδα 32 του σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β' Λυκείου θα σου λυθούν όλες οι απορίες.

M.S.Vovos · #3

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:28 pm
Αν πας στην σελίδα 32 του σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β' Λυκείου θα σου λυθούν όλες οι απορίες.

Χρήστο καλησπέρα. Όντως το σχολικό σελ. 32 δίνει απλά τον ορισμό της γνησίως μονότονης συνάρτησης, αλλά μόνο αυτό. Τίποτε άλλο. Μάλιστα οι ασκήσεις που έχει το σχολικό δεν επικεντρώνονται στην έννοια και εξηγούμαι.

Βλέπω κατά κόρον την άσκηση.

Δίνεται ο τύπος της . Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη.

Πώς θα απαντήσει ο μαθητής με βάση πάντα το σχολικό βιβλίο;

Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #4

Δώσε παράδειγμα που έχεις βρει ή μάλλον άσε το παράδειγμα, πρέπει να ψάξει αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο διάστημα που τίθεται ή αν είναι εφικτό στο πεδίο ορισμού της. Τότε θα αποφανθεί αν είναι και γνησίως μονότονη .

Πάντως Μάριε από το :

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 9:59 pm

Το λέω αυτό γιατί από ότι βλέπω στο σχολικό βιβλίο δεν υπάρχει καμία αναφορά στην έννοια της γνησίως μονότονης συνάρτησης.

μέχρι το:

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:18 am
Όντως το σχολικό σελ. 32 δίνει απλά τον ορισμό της γνησίως μονότονης συνάρτησης, αλλά μόνο αυτό. Τίποτε άλλο. Μάλιστα οι ασκήσεις που έχει το σχολικό δεν επικεντρώνονται στην έννοια και εξηγούμαι.

υπάρχει μια απόσταση.

Μελέτησε καλά το σχολικό και όλα τα υπονοούμενα του στο δεύτερο κεφάλαιο, ψυχραιμία και κάνε επιλογή ή ακόμα καλύτερα διαμόρφωσε εσύ τις ασκήσεις που θα διδάξεις στο ύφος που θεωρείς κατάλληλο.

M.S.Vovos · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:41 am
Δώσε παράδειγμα που έχεις βρει ή μάλλον άσε το παράδειγμα, πρέπει να ψάξει αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο διάστημα που τίθεται ή αν είναι εφικτό στο πεδίο ορισμού της. Τότε θα αποφανθεί αν είναι και γνησίως μονότονη .

Πάντως Μάριε από το :

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 9:59 pm

Το λέω αυτό γιατί από ότι βλέπω στο σχολικό βιβλίο δεν υπάρχει καμία αναφορά στην έννοια της γνησίως μονότονης συνάρτησης.

μέχρι το:
M.S.Vovos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:18 am
Όντως το σχολικό σελ. 32 δίνει απλά τον ορισμό της γνησίως μονότονης συνάρτησης, αλλά μόνο αυτό. Τίποτε άλλο. Μάλιστα οι ασκήσεις που έχει το σχολικό δεν επικεντρώνονται στην έννοια και εξηγούμαι.
υπάρχει μια απόσταση.

Μελέτησε καλά το σχολικό και όλα τα υπονοούμενα του στο δεύτερο κεφάλαιο, ψυχραιμία και κάνε επιλογή ή ακόμα καλύτερα διαμόρφωσε εσύ τις ασκήσεις που θα διδάξεις στο ύφος που θεωρείς κατάλληλο.

Ναι Χρήστο δεν εννούσα αυτό ότι δεν αναφέρεται καθόλου. Απλά ότι δεν αναφέρει πέρα από αυτό τίποτα άλλο. Η κούραση της μέρας.

Σου δίνω παράδειγμα για να καταλάβεις τι εννοώ. Η παρακάτω άσκηση - θέμα που θέλω να διδάξω είναι εντός ύλης;

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x-\sqrt{x^{2}+1}$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

.

(β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0)

και

.

(γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύουν f(x)<0

και $\displaystyle{\displaystyle f\left ( -x \right )=\frac{1}{f(x)}}$ .

(δ) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως μονότονη και ειδικότερα γνησίως αύξουσα.

(ε) Να λύσετε την ανίσωση:
$\displaystyle{f\left ( x^{2}-3 \right )f(1-x)>1}$ Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #6

Απλό όντως δεν είναι το παράδειγμα έχει σύννομη λύση που θα προσπαθήσω να την δώσω , πάμε κατευθείαν στο επίμαχο:

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 1:09 am
(δ) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη και ειδικότερα γνησίως αύξουσα.

Αν $x_1<x_2 \leq0$ τότε x_1^2 >x_2^2

(από τις σπουδαιότερες και πιo τονισμένες ιδιότητες του κεφαλαίου)
$\Rightarrow \sqrt{ x_1^2+1} >\sqrt{x_2^2+1}\Rightarrow -\sqrt{ x_1^2+1} <-\sqrt{x_2^2+1}\Rightarrow x_1-\sqrt{ x_1^2+1} <x_2-\sqrt{x_2^2+1}$ $\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ δείξαμε λοιπόν ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ .

Αν $0\leq x_1<x_2$ τότε $-x_2<-x_1\leq 0$ από τα παραπάνω $\Rightarrow f(-x_2)<f(-x_1)\Rightarrow \frac{1}{fx_2)}<\frac{1}{f(x_1)}$ εκμεταλλευτήκαμε το ερώτημα (γ) $\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ δείξαμε λοιπόν ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .

Τέλος για να γίνει πιο ξεκάθαρο , αν $x_1<0<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(0)<f(x_2)$ ,δείξαμε δηλαδή ότι για οποιαδήποτε επιλογή των x_1,x_2

στο διάστημα των πραγματικών αριθμών η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα άρα γνησίως μονότονη στο $\mathb R$ .

M.S.Vovos · #7

Ωραία Χρήστο. Σε ευχαριστώ δύσκολη αρκετά ομολογώ είναι.

Θα δώσω και τη δική μου προσέγγιση. Αλλά πιστεύω πως είναι εκτός ύλης.

Θα δείξω πρώτα ότι είναι γνησίως μονότονη.

Έστω $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ με $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )$ . Τότε:

$\displaystyle{x_{1}-\sqrt{x_{1}^{2}+1}=x_{2}-\sqrt{x_{2}^{2}+1}\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\sqrt{x_{1}^{2}+1}-\sqrt{x_{2}^{2}+1}\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{\left ( x_{1}-x_{2} \right )\left ( x_{1}+x_{2} \right )}{\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}} }$

Επομένως, $x_{1}=x_{2}$ ή $\displaystyle{\frac{x_{1}+x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}}=1\Leftrightarrow x_{1}-\sqrt{x_{1}^{2}+1}+x_{2}-\sqrt{x_{2}^{2}+1}=0\Leftrightarrow f(x_{1})+f\left ( x_{2} \right )=0}$ .

Το οποίο δεν μπορεί να ισχύει αφού f(x)<0

, για κάθε

. Άρα, $x_{1}=x_{2}$ .

Αφού, τώρα η

είναι γνησίως μονότονη και από το ερώτημα β. f(0)<f(1)

θα είναι γνησίως αύξουσα.

[*]Η λύση είναι σαφέστατα λάθος δείτε παρακάτω τη συζήτηση.

Christos.N · #8

Μάριε έδειξες ότι είναι 1-1

και ταυτόχρονα έκανες χρήση του αποδεικτέου,δηλαδή υπέθεσες ότι είναι γνησίως μονότονη, αλλά πολύ περισσότερο κάνεις χρήση της εσφαλμένης πρότασης ότι αν μια συνάρτηση είναι 1-1

τότε είναι γνησίως μονότονη.
Πρέπει να την αναθεωρήσεις αυτήν την λύση γιατί η ιδιότητα "1-1"

δεν είναι ξεκάθαρη στην Β' Λυκείου ούτε καν αναφέρεται με αυτό το όνομα , περίεργο αλλά έτσι είναι, δες τις σελίδες 165 (σχόλιο) και 182-183. Επίσης κάνει χρήση η λύση σου της εσφαλμένης πρότασης που προείπαμε και ακόμα και όταν ισχύει, με τις κατάλληλες προϋποθέσεις, είναι εκτός πνεύματος.

M.S.Vovos · #9

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:14 pm
αλλά πολύ περισσότερο κάνεις χρήση της εσφαλμένης πρότασης ότι αν μια συνάρτηση είναι τότε είναι γνησίως μονότονη.

Μπράβο βρε Χρήστο γιατί το ίδιο ακριβώς σκεφτόμουν και γω και ήθελα να το γράψω πιο μετά. Από την Γ' λυκείου ξέρουμε ότι κάθε 1-1

δεν είναι κατά ανάγκη γνησίως μονότονη. Με χαρακτηριστικό παράδειγμα την δίκλαδη που δίνει το σχολικό. Το θέμα είναι γιατί ο Παπαδάκης στο βοήθημα δίνει το εξής (κάνω αντιγραφή τελείως):

Ισχύει η εξής πρόταση:
Αν η είναι μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $x_{1},x_{2}\in \Delta$ , τότε ισχύει η ισοδυναμία $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Christos.N · #10

Ο συγγραφέας εδώ δεν κάνει τίποτε άλλο από το να παραθέτει συγκεντρωμένη σε πρόταση τις παρατηρήσεις των συγγραφέων του βιβλίου στις σελίδες 165 (σχόλιο) και 182-183 που σου ανέφερα και πριν.Όπως βλέπεις και εσύ υποθέτει ότι αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε ισχύει η επόμενη ισοδυναμία που γράφει και πουθενά δεν αναφέρει τον όρο 1-1

.
Η απόδειξη της πρότασης βασίζεται στα εξής επιχειρήματα:

Αν x_1=x_2

τότε προφανώς f(x_1)=f(x_2)

Αν η

είναι γνησίως μονότονη τότε γενικά, αν $x_1 \neq x_2$ τότε $f(x_1) \neq f(x_2)$ , τώρα για να μη μιλήσουμε για αντιθετοαντιστροφή , υποθέτουμε ότι ισχύει f(x_1) = f(x_2)

και $x_1 \neq x_2$ τότε από τα προηγούμενα $f(x_1) \neq f(x_2)$ , όμως υποθέσαμε ότι f(x_1) = f(x_2)

, άτοπο.
Δείξαμε δηλαδή ότι αν ισχύει f(x_1) = f(x_2)

τότε

.

Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Να προσθέσω και κάτι ακόμα, ο συγγραφέας όπως και οι συναφείς συγγραφείς των βιβλίων αυτών, θέλουν να υποδείξουν έναν δρόμο διαφορετικό από αυτόν που έχουν συναντήσει οι μαθητές στις προηγούμενες τάξεις για την επίλυση της εξίσωσης f(x)=a

. Οι μαθητές μέχρι την Β' Λυκείου έχουν συγκεκριμένες μεθόδους και τεχνικές ,εισάγοντας την έννοια της μονοτονίας και κατά συνέπεια την παραπάνω πρόταση μπορούμε να εξασφαλίσουμε έναν ακόμα δρόμο επίλυσης. Εφαρμογή θα βρεις στο ερώτημα (ε) του παραδείγματος σου.

M.S.Vovos · #11

Το έπιασα.

Ο συγγραφέας πρακτικά λέει το εξής:

Γνησίως μονότονη $\longrightarrow$ 1-1

$\longrightarrow$ $\left ( f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \right )$

Και γω πήγα να εφαρμόσω το αντίστροφο που προφανώς κολλάω στο ότι 1-1

δεν σημαίνει ότι είναι και γνησίως μονότονη.

Έγινε Χρήστο! Σε ευχαριστώ για το χρόνο σου!

Φιλικά,
Μάριος

kfd · #12

Μπορείς να δείξεις ότι ο λόγος μεταβολής $\displaystyle{\lambda =\frac{f\left ( x_{1} \right )-f\left ( x_{2} \right )}{x_{1}-x_{2}}}$ είναι θετικός. Μετά από πράξεις και συζυγή φθάνουμε στο $\displaystyle{\lambda =1-\frac{x_{1}+x_{2}}\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}}$ το οποίο είναι θετικό, επειδή το κλάσμα <1, λόγω του προσήμου της f. Δηλαδή $\displaystyle{x_{1}<\sqrt{x_{1}^{2}+1}}$ όμοια για x2 και πρόσθεση κατά μέλη. Άρα f γν.αύξουσα γιατί οι διαφορές στο λόγο μεταβολής ομόσημες.

Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Re: Γνησίως μονότονη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση