Παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

$\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4} \right ) > 3-\cos^2 x}$

ικανοποιείται για όλα τα

.

Summand · #2

Καλησπέρα!

Η αρχική γράφεται $a>\frac{3-cos^2x}{1+(4-sinx)^4}$ αφού $1+(4-sinx)^4>0,\forall x\in \mathbb{R}$

Έχουμε $0\leq cos^2x\leq1\Leftrightarrow 0\geq -cos^2x\geq-1\Leftrightarrow 3\geq3-cos^2x\geq2,(\star )$

Και $-1\leq sinx \leq1\Leftrightarrow -1\leq -sinx \leq1\Leftrightarrow 3\leq 4-sinx \leq5,(\bigstar )$

Αφού όλοι οι όροι είναι θετικοί στην $\bigstar$ υψώνουμε στην τετάρτη: $3^4\leq (4-sinx)^4\leq5^4\Leftrightarrow 3^4+1\leq (4-sinx)^4\leq5^4+1$ άρα έχουμε

$3^4+1\leq 1+(4-sinx)^4\leq5^4+1\Leftrightarrow \frac{1}{3^4+1}\geq \frac{1}{1+(4-sinx)^4}\geq\frac{1}{5^4+1},(\blacklozenge )$

Πολλαπλασιάζοντας τις $\star, \blacklozenge$ κατά μέλη παίρνουμε: $\frac{3}{82}\geq\frac{3-cos^2x}{1+(4-sinx)^4}\geq\frac{1}{313},\forall x\in\mathbb{R}$

Άρα επιλέγουμε $a>\frac{3}{82}$ $\therefore$

Φιλικά,
Γιάννης Ν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 01, 2019 8:35 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

$\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4} \right ) > 3-\cos^2 x}$

ικανοποιείται για όλα τα .

Αν θέσουμε $x=\frac{\pi }{2}$

βλέπουμε ότι $a> \frac{3}{82}$

Εύκολα βλέπουμε ότι για $a> \frac{3}{82}$ και κάθε

είναι

$\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4} \right ) >\frac{3}{82} (1+3^{4})=3\geq 3-\cos^2 x}$

Αρα η τελική απάντηση είναι $a> \frac{3}{82}$

Παραμετρική ανίσωση

Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση