Παραμετρική ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Οκτ 01, 2019 8:35 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4}  \right ) > 3-\cos^2 x}

ικανοποιείται για όλα τα x.



Λέξεις Κλειδιά:
Summand
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Τρί Οκτ 01, 2019 10:14 pm

Καλησπέρα!

Η αρχική γράφεται a>\frac{3-cos^2x}{1+(4-sinx)^4} αφού 1+(4-sinx)^4>0,\forall x\in \mathbb{R}


Έχουμε 0\leq cos^2x\leq1\Leftrightarrow 0\geq -cos^2x\geq-1\Leftrightarrow 3\geq3-cos^2x\geq2,(\star )


Και -1\leq sinx \leq1\Leftrightarrow -1\leq -sinx \leq1\Leftrightarrow 3\leq 4-sinx \leq5,(\bigstar )


Αφού όλοι οι όροι είναι θετικοί στην \bigstar υψώνουμε στην τετάρτη: 3^4\leq (4-sinx)^4\leq5^4\Leftrightarrow 3^4+1\leq (4-sinx)^4\leq5^4+1 άρα έχουμε

3^4+1\leq 1+(4-sinx)^4\leq5^4+1\Leftrightarrow \frac{1}{3^4+1}\geq \frac{1}{1+(4-sinx)^4}\geq\frac{1}{5^4+1},(\blacklozenge )


Πολλαπλασιάζοντας τις \star, \blacklozenge κατά μέλη παίρνουμε: \frac{3}{82}\geq\frac{3-cos^2x}{1+(4-sinx)^4}\geq\frac{1}{313},\forall x\in\mathbb{R}

Άρα επιλέγουμε a>\frac{3}{82} \therefore



Φιλικά,
Γιάννης Ν.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 01, 2019 11:32 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τρί Οκτ 01, 2019 8:35 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4}  \right ) > 3-\cos^2 x}

ικανοποιείται για όλα τα x.
Αν θέσουμε x=\frac{\pi }{2}

βλέπουμε ότι a> \frac{3}{82}

Εύκολα βλέπουμε ότι για a> \frac{3}{82} και κάθε x είναι

\displaystyle{ a \left ( 1+\left( 4-\sin x\right)^{4} \right ) >\frac{3}{82} (1+3^{4})=3\geq 3-\cos^2 x}

Αρα η τελική απάντηση είναι a> \frac{3}{82}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης