Εξίσωση!

Συντονιστής: exdx

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Εξίσωση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ σε Κυρ Σεπ 29, 2019 10:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 29, 2019 1:43 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+10}
Ίσως λόγω της ώρας δε βλέπω καλά , αλλά δε βλέπω να έχει "στρωτές" ρίζες. Έχεις λύση στην άσκηση ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 29, 2019 7:42 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 29, 2019 1:43 am
Ίσως λόγω της ώρας δε βλέπω καλά , αλλά δε βλέπω να έχει "στρωτές" ρίζες. Έχεις λύση στην άσκηση ;
Και εγώ νομίζω ότι τα νούμερα στην εκφώνηση είναι στα κουτουρού. Σίγουρα η τεταρτοβάθμια που προκύπτει είναι έξω από την εμβέλεια μαθητών της Γ ' Γυμνασίου.

Πρέπει να γίνει κατανοητό από όλους τους επίδοξους κατασκευαστές ασκήσεων ότι η διαδικασία "κτίζω έναν τοίχο" δεν είναι συνώνυμη της "βάζω τα τούβλα εδώ και εκεί". Για το κτίσιμο του τοίχου χρειάζεται και αλφάδι.

Η ισορροπία και αρμονία στα Μαθηματικά είναι απαράβατος κανόνας ενώ η ακαταστασία είναι έξω από την πρακτική τους.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 29, 2019 10:53 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)
Η εξίσωση γράφεται: \displaystyle \sqrt {{x^2} + 1}  = 5|x - 3| - 2

\displaystyle  \bullet Για x\ge3, είναι \displaystyle \sqrt {{x^2} + 1}  = 5x - 17,x > \frac{{17}}{5} \Rightarrow 12{x^2} - 85x + 144 = 0, απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα \boxed{x = \frac{{85 + \sqrt {313} }}{{24}}}

\displaystyle  \bullet Για x< 3, είναι \displaystyle \sqrt {{x^2} + 1}  =  - 5x + 13,x < \frac{{13}}{5} \Rightarrow 12{x^2} - 65x + 84 = 0, απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα \boxed{x = \frac{{65 - \sqrt {193} }}{{24}}}


Αν έλειπε το 5 στο δεύτερο μέλος θα ήταν πιο βατή. Και πάλι όμως δεν είναι κατάλληλη για Γυμνάσιο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 29, 2019 12:38 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm
Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

\sqrt{x^{2}+1}+2=5\sqrt{x^{2}-6x+9}
(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)
Τώρα αλλάζουν τα πράματα! Σαφώς γίνεται πιο εύκολη , αλλά ... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4684
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εξίσωση!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 29, 2019 7:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:38 pm
Τώρα αλλάζουν τα πράματα! Σαφώς γίνεται πιο εύκολη , αλλά ... !!
Αλλά και πάλι η επίλυση άρρητων εξισώσεων ΔΕΝ είναι στην ύλη Γυμνασίου. Μάλλον πρέπει να μετακινηθεί η ανάρτηση σε κατάλληλο φάκελο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 29, 2019 8:29 pm

Μεταφέρθηκε στη Β' Λυκείου.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Εξίσωση!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Δευ Σεπ 30, 2019 1:08 pm

Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
x\approx 2,12...
x\approx 2,8...
x\approx 3,28...
x\approx 4,27

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 30, 2019 2:13 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2019 1:08 pm
Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
x\approx 2,12...
x\approx 2,8...
x\approx 3,28...
x\approx 4,27

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.
Η άσκηση έχει λυθεί πιο πάνω. Ο απλός μαθητής της Β' Λυκείου, αρκεί να παρατηρήσει ότι x^2-6x+9=(x-3)^2.
Και παρεμπιπτόντως, η άσκηση έχει 2 και όχι 4 ρίζες.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Εξίσωση!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Δευ Σεπ 30, 2019 2:56 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2019 2:13 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2019 1:08 pm
Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε:
(\sqrt{(x^{2}+1)+2})^{2}=(5\sqrt{x^{2}-6x+9})^{2}\Leftrightarrow x^{2}+4\sqrt{x^{2}+1}+5=25x^{2}-150x+225

Κάνοντας απλές πράξεις καταλήγουμε
4\sqrt{x^{2}+1}=24x^{2}-150x+220\Leftrightarrow (4\sqrt{x^{2}+1})^{2}=(24x^{2}-150x+220)^{2}

Ύστερα από αριθμητική καταλήγουμε στην μορφή:
16x^{2}+16=576x^{4}-7200x^{3}+33060x^{2}-66000x+48400

Το mathematica δίνει τέσσερις ρίζες, τις:
x\approx 2,12...
x\approx 2,8...
x\approx 3,28...
x\approx 4,27

Ύστερα από δοκιμή στο ίδιο πρόγραμμα οι δεκτές ρίζες είναι η πρώτη και η τελευταία.

Ερώτηση: Πώς θα μπορούσε ένας απλός μαθητής της Β' Λυκ να το λύσει χωρίς πρόσβαση σε μεθόδους brute force (δη Mathematica). Οι πολλές πράξεις μονόδρομος;

Καλά για Γ' Γυμνασίου δεν τίθεται καν συζήτηση.
Η άσκηση έχει λυθεί πιο πάνω. Ο απλός μαθητής της Β' Λυκείου, αρκεί να παρατηρήσει ότι x^2-6x+9=(x-3)^2.
Και παρεμπιπτόντως, η άσκηση έχει 2 και όχι 4 ρίζες.
Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στην λύση που παρέθεσα εξήγησα τελευταία ότι δεκτές είναι δύο από τις τέσσερις που προέκυψαν. :D


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 30, 2019 5:22 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Σεπ 30, 2019 2:56 pm
... Στην λύση που παρέθεσα εξήγησα τελευταία ότι δεκτές είναι δύο από τις τέσσερις που προέκυψαν. :D
Έχεις δίκιο, δεν το είχα προσέξει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες