Αρρητη εξίσωση

angvl · #1

Καλησπέρα!

Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε.

$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε)

H λύση μου.

Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$ .

Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) είναι αδύνατη.

Συνεπώς θα δουλέψουμε στο (0,2 ]

.

Εστω ένας αριθμός $x \in(0,2]$ είναι λύση της (Ε).

Ετσι η (Ε) μετατρέπεται σε ισότητα.

Αρα υπάρχει $u \in(0,\frac{\pi}{2}]$ με x=2cosu

. Αρα έχουμε :

(E) $\Rightarrow$ $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=2cosu$

$\Rightarrow$ ${2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $2+\sqrt{2-2cos\frac{u}{2}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $\sqrt{sin^2\frac{u}{4}}=cos2u$

$\Rightarrow$ $sin\frac{u}{4}=cos2u$

$\Rightarrow$ $cos(\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4})=cos2u$

$\Rightarrow$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=2u$ $\vee$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=-2u$ (το k=0 )

$\Rightarrow$ $u=\frac{2\pi}{9}$ $\vee$ $u=\frac{2\pi}{7}$

$\Rightarrow$ $x=2cos\frac{2\pi}{9} \vee x=2cos\frac{2\pi}{7}$

Αντιστρόφως.

Τώρα πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν την (Ε).

Εδώ είναι το πρόβλημα μου.

Αυτή η επαλήθευση είναι δύσκολη ή κάνω λάθος ? Μήπως να μην έβαζα συνεπαγωγές και να βάλω ισοδυναμίες? Κάτι δεν καταλαβαίνω ...

Και κάτι άσχετο. Γιατί ενώ στην αρχή όλα φαίνονται τόσο ωραία στο λατέξ στην συνέχεια μου τα μικραίνει...?

Ευχαριστώ πολύ !!

(προσπέρασα 2-3 βηματάκια στην λύση μου γιατί πολύ ρίζα

)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

angvl έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:33 pm
Καλησπέρα!

Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε.

$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε)

H λύση μου.

Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$ .

Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) είναι αδύνατη.

Συνεπώς θα δουλέψουμε στο .

Εστω ένας αριθμός $x \in(0,2]$ είναι λύση της (Ε).

Ετσι η (Ε) μετατρέπεται σε ισότητα.

Αρα υπάρχει $u \in(0,\frac{\pi}{2}]$ με . Αρα έχουμε :

(E) $\Rightarrow$ $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=2cosu$

$\Rightarrow$ ${2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $2+\sqrt{2-2cos\frac{u}{2}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $\sqrt{sin^2\frac{u}{4}}=cos2u$

$\Rightarrow$ $sin\frac{u}{4}=cos2u$

$\Rightarrow$ $cos(\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4})=cos2u$

$\Rightarrow$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=2u$ $\vee$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=-2u$ (το k=0 )

$\Rightarrow$ $u=\frac{2\pi}{9}$ $\vee$ $u=\frac{2\pi}{7}$

$\Rightarrow$ $x=2cos\frac{2\pi}{9} \vee x=2cos\frac{2\pi}{7}$

Αντιστρόφως.

Τώρα πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν την (Ε).

Εδώ είναι το πρόβλημα μου.

Αυτή η επαλήθευση είναι δύσκολη ή κάνω λάθος ? Μήπως να μην έβαζα συνεπαγωγές και να βάλω ισοδυναμίες? Κάτι δεν καταλαβαίνω ...

Και κάτι άσχετο. Γιατί ενώ στην αρχή όλα φαίνονται τόσο ωραία στο λατέξ στην συνέχεια μου τα μικραίνει...?

Ευχαριστώ πολύ !!

(προσπέρασα 2-3 βηματάκια στην λύση μου γιατί πολύ ρίζα )

Κανένα πρόβλημα δεν υπάρχει.
Επειδή έχεις βάλει

υπάρχει $u \in(0,\frac{\pi}{2}]$ με x=2cosu

ολα είναι μη αρνητικά ,οπότε έχουμε ισοδυναμίες.

Αλλά και επαλήθευση μπορείς να κάνεις.
Εκεί θέλει λίγο προσοχή.

#3

Καλησπέρα!

Δεν υπάρχει πρόβλημα με την επαλήθευση. Στο προτελευταίο βήμα χρησιμοποίησε τον τύπο $\displaystyle \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$

Αν δεν σου βγει, τα ξαναλέμε.

angvl · #4

Ευχαριστώ πάρα πάρα πολύ για τις άμεσες απαντήσεις σας!

Πρέπει λογικά να έχει μόνο μία λύση.(Το επάληθευσα με το wolfram

)

Τώρα θα το δώ πάλι χειροκίνητα...

angvl · #5

Αν $u=\frac{2\pi}{9}$ τότε

$sin\frac{u}{4}=cos2u$ $\Rightarrow sin\frac{2\pi}{36}=cos{\frac{4\pi}{9}$ $\Rightarrow sin\frac{\pi}{18}=sin(\frac{\pi}{2}+\frac{4\pi}{9}) \Rightarrow sin\frac{\pi}{18}=sin\frac{17\pi}{18} \Rightarrow sin\frac{\pi}{18}=sin\frac{18\pi-\pi}{18}$
$\Rightarrow sin\frac{\pi}{18}=sin\frac{\pi}{18}$

αρα η παραπάνω τιμή είναι δεκτή.

Αν $u=\frac{2\pi}{7}$ τότε

$sin\frac{u}{4}=cos2u$ $\Rightarrow sin\frac{2\pi}{28}=cos{\frac{4\pi}{7}$ $\Rightarrow sin\frac{\pi}{14}=sin(\frac{\pi}{2}+\frac{4\pi}{7}) \Rightarrow sin\frac{\pi}{14}=sin\frac{15\pi}{14} \Rightarrow sin\frac{\pi}{14}=sin\frac{14\pi+\pi}{14}$
$\Rightarrow sin\frac{\pi}{14}=-sin\frac{\pi}{14}$ που δεν ισχύει. Αρα η παραπάνω τιμή απορρίπτεται.

Τελικά όντως ήταν πολύ απλή η επαλήθευση.. Για κάποιο λόγο έγω πήγαινα να κάνω επαλήθευση στην αρχική εξίσωση (Ε) αλλά τρόμαξα λίγο κα το παράτησα..

(ή μήπως πρέπει να πάω σε αυτήν?)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

angvl έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:33 pm
Καλησπέρα!

Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε.

$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε)

H λύση μου.

Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$ .

Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) είναι αδύνατη.

Συνεπώς θα δουλέψουμε στο .

Εστω ένας αριθμός $x \in(0,2]$ είναι λύση της (Ε).

Ετσι η (Ε) μετατρέπεται σε ισότητα.

Αρα υπάρχει $u \in(0,\frac{\pi}{2}]$ με . Αρα έχουμε :

(E) $\Rightarrow$ $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=2cosu$

$\Rightarrow$ ${2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $2+\sqrt{2-2cos\frac{u}{2}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $\sqrt{sin^2\frac{u}{4}}=cos2u$

$\Rightarrow$ $sin\frac{u}{4}=cos2u$

$\Rightarrow$ $cos(\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4})=cos2u$

$\Rightarrow$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=2u$ $\vee$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=-2u$ (το k=0 )

$\Rightarrow$ $u=\frac{2\pi}{9}$ $\vee$ $u=\frac{2\pi}{7}$

$\Rightarrow$ $x=2cos\frac{2\pi}{9} \vee x=2cos\frac{2\pi}{7}$

Αντιστρόφως.

Τώρα πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν την (Ε).

Εδώ είναι το πρόβλημα μου.

Αυτή η επαλήθευση είναι δύσκολη ή κάνω λάθος ? Μήπως να μην έβαζα συνεπαγωγές και να βάλω ισοδυναμίες? Κάτι δεν καταλαβαίνω ...

Και κάτι άσχετο. Γιατί ενώ στην αρχή όλα φαίνονται τόσο ωραία στο λατέξ στην συνέχεια μου τα μικραίνει...?

Ευχαριστώ πολύ !!

(προσπέρασα 2-3 βηματάκια στην λύση μου γιατί πολύ ρίζα )

Επειδή
$sin\frac{u}{4}=cos2u$

πρέπει $cos2u\geq 0$

αυτό δεν ισχύει αν

$u=\frac{2\pi}{7}$

Ετσι μοναδική λύση η

$x=2cos\frac{2\pi}{9}$

angvl · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 8:48 pm

angvl έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 5:33 pm
Καλησπέρα!

Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε.

$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε)

H λύση μου.

Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$ .

Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) είναι αδύνατη.

Συνεπώς θα δουλέψουμε στο .

Εστω ένας αριθμός $x \in(0,2]$ είναι λύση της (Ε).

Ετσι η (Ε) μετατρέπεται σε ισότητα.

Αρα υπάρχει $u \in(0,\frac{\pi}{2}]$ με . Αρα έχουμε :

(E) $\Rightarrow$ $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=2cosu$

$\Rightarrow$ ${2+\sqrt{2-\sqrt{2+2cosu}}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $2+\sqrt{2-2cos\frac{u}{2}}=4cos^2u$

$\Rightarrow$ $\sqrt{sin^2\frac{u}{4}}=cos2u$

$\Rightarrow$ $sin\frac{u}{4}=cos2u$

$\Rightarrow$ $cos(\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4})=cos2u$

$\Rightarrow$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=2u$ $\vee$ $\frac{\pi}{2}-\frac{u}{4}=-2u$ (το k=0 )

$\Rightarrow$ $u=\frac{2\pi}{9}$ $\vee$ $u=\frac{2\pi}{7}$

$\Rightarrow$ $x=2cos\frac{2\pi}{9} \vee x=2cos\frac{2\pi}{7}$

Αντιστρόφως.

Τώρα πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν την (Ε).

Εδώ είναι το πρόβλημα μου.

Αυτή η επαλήθευση είναι δύσκολη ή κάνω λάθος ? Μήπως να μην έβαζα συνεπαγωγές και να βάλω ισοδυναμίες? Κάτι δεν καταλαβαίνω ...

Και κάτι άσχετο. Γιατί ενώ στην αρχή όλα φαίνονται τόσο ωραία στο λατέξ στην συνέχεια μου τα μικραίνει...?

Ευχαριστώ πολύ !!

(προσπέρασα 2-3 βηματάκια στην λύση μου γιατί πολύ ρίζα )
Επειδή
$sin\frac{u}{4}=cos2u$

πρέπει $cos2u\geq 0$

αυτό δεν ισχύει αν

$u=\frac{2\pi}{7}$

Ετσι μοναδική λύση η

$x=2cos\frac{2\pi}{9}$

Ευχαριστώ κ. Σταύρο!

Αρρητη εξίσωση

Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Re: Αρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση