Ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Απρ 08, 2019 10:26 am

Καλημερα :logo:

Να λυθεί η ανίσωση 4^{sin^{2}x}+4^{cos2x}\leq 4

Επιφυλάσσομαι για την ορθότητα της εκφώνησης.Ευχαριστώ.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4389
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 08, 2019 10:31 am

pito έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 10:26 am
Καλημερα :logo:

Να λυθεί η ανίσωση 4^{sin^{2}x}+4^{cos2x}\leq 4

Επιφυλάσσομαι για την ορθότητα της εκφώνησης.Ευχαριστώ.
Καλημέρα Μυρτώ. Μήπως είναι έτσι η ανισότητα: \displaystyle{4^{\sin^2 x} +4^{\cos^2 x} \leq 4} και όχι \displaystyle{4^{\sin^2 x} +4^{\cos 2x} \leq 4}.


Δεν την κοίταξα, αλλά μου φαίνεται παράξενο να είναι το 2ο.... !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Απρ 08, 2019 10:39 am

Καλημέρα Τόλη , είναι όπως την έγραψα από φυλλάδιο σχολείου και επιφυλάσσομαι για την ορθότητά της ,όπως έγραψα.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4389
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 08, 2019 11:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 10:31 am
pito έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 10:26 am
Καλημερα :logo:

Να λυθεί η ανίσωση 4^{sin^{2}x}+4^{cos2x}\leq 4

Επιφυλάσσομαι για την ορθότητα της εκφώνησης.Ευχαριστώ.
Καλημέρα Μυρτώ. Μήπως είναι έτσι η ανισότητα: \displaystyle{4^{\sin^2 x} +4^{\cos^2 x} \leq 4} και όχι \displaystyle{4^{\sin^2 x} +4^{\cos 2x} \leq 4}.


Δεν την κοίταξα, αλλά μου φαίνεται παράξενο να είναι το 2ο.... !

Άκυρο! Φαίνεται πως η σωστή εκφώνηση Μυρτώ είναι αυτή που γράφεις!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9675
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 08, 2019 11:38 am

Αν είναι \displaystyle {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{{{\cos }^2}x}} \le 4 τότε επειδή το πρώτο μέλος δεν είναι ποτέ μικρότερο του 4,

η ανίσωση μετατρέπεται στην εξίσωση \displaystyle {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{{{\cos }^2}x}} = 4


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4683
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 08, 2019 11:55 am

Επειδή το γινόμενο των θετικών παραγόντων 4^{sin^{2}x}, 4^{cos^{2}x} είναι σταθερό, το άθροισμά τους παίρνει την ελάχιστη τιμή του, όταν είναι ίσοι, (εφόσον μπορούν να είναι ίσοι).

Κατόπιν είναι εύκολα τα πράγματα. Επίσης εύκολο είναι το ότι το ελάχιστο αυτό είναι το ζητούμενο 4.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9675
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 08, 2019 12:21 pm

Πάντα υποθετικά μιλώντας, ότι η ανίσωσή μας είναι η \displaystyle {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{{{\cos }^2}x}} \le 4 και όχι \displaystyle {4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{\cos 2x}} \le 4,

τότε αν θέσουμε \displaystyle {\sin ^2}x = t καταλήγουμε στο \displaystyle {({4^t} - 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}, κλπ.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1755
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Ανίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Απρ 08, 2019 12:56 pm

Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν με τη δεύτερη ανίσωση που πρότεινε αρχικά ο Τόλης , αλλά η σωστή εκφώνηση είναι η αρχική που έχω δώσει.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9675
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 08, 2019 1:24 pm

pito έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 12:56 pm
Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν με τη δεύτερη ανίσωση που πρότεινε αρχικά ο Τόλης , αλλά η σωστή εκφώνηση είναι η αρχική που έχω δώσει.
Ανίσωση.png
Ανίσωση.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές
Έχω την εντύπωση ότι η αρχική ανίσωση μπορεί να λυθεί μόνο προσεγγιστικά σε μία περίοδο, π.χ στο [0,\pi].


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11769
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 08, 2019 1:31 pm

Νομίζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι η : 4^{cos^2x}+4^{cos2x}\leq 4


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανίσωση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 08, 2019 1:35 pm

pito έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 12:56 pm
Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν με τη δεύτερη ανίσωση που πρότεινε αρχικά ο Τόλης , αλλά η σωστή εκφώνηση είναι η αρχική που έχω δώσει.
Η υποψία ότι η ανίσωση μπορεί να είναι λάθος έγκυται στο ότι ανάγεται στην επίλυση εξίσωσης τρίτου βαθμού αρχικά, που είναι σε μη σχολικά πλαίσια.

 \displaystyle 4^{\sin^{2} x}+4^{\cos 2x} \leq 4 \Leftrightarrow 4^{\sin^{2} x}+4^{1-2\sin^{2} x}} \leq 4 \Leftrightarrow 4^{\sin^{2} x}+\dfrac{4}{4^{2\sin^{2} x}} \leq 4

θέτουμε  t=4^{\sin^{2} x} και η ανίσωση γίνεται

\displaystyle t+\dfrac{4}{t^2} \leq 4 \Leftrightarrow  t^3-4t^2+4 \leq 0

Η τελευταία ανισότητα δεν λύνεται με σχολικά μέσα. ϊσως αν προχωρήσει κάποιος με συνημίτονα τριπλάσιας γωνίας...;

Εκτός αν υπάρχει άλλος δρόμος πιο έξυπνος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4683
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ανίσωση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 08, 2019 8:40 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 08, 2019 1:31 pm
Νομίζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι η : 4^{cos^2x}+4^{cos2x}\leq 4
Καλησπέρα σε όλους. Αν δεν έχω λάθος στο παρακάτω, πιστεύω, ότι ούτε η εκδοχή του Θανάση ταιριάζει στο σημερινό σχολικό περιβάλλον. Πιθανολογώ ότι είναι η αρχική παραλλαγή που δόθηκε από τον Αποστόλη.

Για την εκδοχή του Θανάση:

Έστω ότι υπάρχει  \displaystyle x \in R που επαληθεύει την ανίσωση  \displaystyle 4^{cos^2x}+4^{cos2x}\leq 4. Τότε

 \displaystyle {4^{{{\cos }^2}x}} + {4^{cos2x}} \le 4 \Leftrightarrow {4^{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{4^{2{{\cos }^2}x}}}}{4} \le 4

 \displaystyle  \Leftrightarrow 4 \cdot {4^{{{\cos }^2}x}} + {4^{2{{\cos }^2}x}} \le 16

 \displaystyle  \Leftrightarrow 4 \cdot {4^{{{\cos }^2}x}} + {\left( {{4^{{{\cos }^2}x}}} \right)^2} \le 16

Θέτω  \displaystyle {4^{{{\cos }^2}x}} = t,\;\;t > 0 . Η ανίσωση γίνεται

 \displaystyle {t^2} + 4t - 16 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {0,\;2\sqrt 5  - 2} \right]
Οπότε η ανίσωση ισοδυναμεί με την
 \displaystyle {4^{{{\cos }^2}x}} \le 2\sqrt 5  - 2 \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x} \right)\ln 4 \le \ln \left( {2\sqrt 5  - 2} \right) \Leftrightarrow {\cos ^2}x \le \frac{{\ln \left( {2\sqrt 5  - 2} \right)}}{{2\ln 2}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{{\ln \left( {2\sqrt 5  - 2} \right)}}{{2\ln 2}}}  \le \cos x \le \sqrt {\frac{{\ln \left( {2\sqrt 5  - 2} \right)}}{{2\ln 2}}} .

Έστω  \displaystyle \theta  = \arccos \left( {\sqrt {\frac{{\ln \left( {2\sqrt 5  - 2} \right)}}{{2\ln 2}}} } \right) , πρωτεύον όρισμα, οπότε
 \displaystyle 2\kappa \pi  + \theta  \le x \le 2\kappa \pi  + \pi  - \theta ,\;\;\kappa  \in {\rm Z}

Προσεγγιστικά είναι  \displaystyle \theta  \cong \tau o\xi \sigma \upsilon \nu \left( {0,808} \right) \cong \frac{\pi }{5} , άρα  \displaystyle 2\kappa \pi  + \frac{\pi }{5} \le x \le 2\kappa \pi  + \frac{{4\pi }}{5},\;\;\kappa  \in {\rm Z} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες