Εφαπτόμενες

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτόμενες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 20, 2019 9:25 pm

Εφαπτόμενες.png
Εφαπτόμενες.png (4.13 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές
\bigstar Με την ημιευθεία O\zeta , χωρίσαμε την ορθή γωνία \widehat{xOy} σε δύο γωνίες \theta και \phi .

α) Βρείτε τη μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος : \tan\theta+\tan\phi

β) Για ποια τιμή της \theta είναι : \tan\theta+\tan\phi=4 ;

γ) Προαιρετικό : Είναι γνωστό ότι : \tan3x=\dfrac{3\tanx-\tan^3x}{1-3\tan^2x} . Υπολογίστε την : \tan5x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 847
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εφαπτόμενες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Φεβ 20, 2019 10:05 pm

Καλησπέρα !
α)
Αφού \vartheta ,\varphi συμπληρωματικές θα είναι \tan\vartheta \cdot \tan\varphi =1
Άρα \tan\vartheta +\tan\varphi ελάχιστο αν \tan\vartheta =\tan\varphi.
Άρα \vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow 2\tan\vartheta =2\cdot 1=2

β)
\tan\varphi =\dfrac{1}{\tan\vartheta } άρα \tan\vartheta +\dfrac{1}{\tan\vartheta }=4\Leftrightarrow\tan^2\vartheta -4\tan\theta +1=0
Έχουμε
\Delta Δ=16-4=12 άρα \tan\vartheta =\dfrac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}
Για \tan\theta=2+ \sqrt{3} είναι  \tan\varphi=2-\sqrt{3} και αντίστροφα.
\tan\vartheta =2+\sqrt{3}\Leftrightarrow \vartheta =75^{\circ},\varphi =15^{\circ}


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Εφαπτόμενες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Φεβ 20, 2019 10:23 pm

Καλησπέρα!
α) \tan \vartheta +\tan \varphi =\dfrac{\sin \vartheta }{\cos\vartheta }+\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\dfrac{\sin \vartheta }{\cos \vartheta }+\dfrac{cos\vartheta }{sin\vartheta }=\dfrac{sin\vartheta^{2}+cos\vartheta ^{2} }{cos\vartheta\cdot sin\vartheta }=\dfrac{1}{cos\vartheta \cdot sin\vartheta }=\dfrac{2}{2\cdot cos\vartheta \cdot sin\vartheta}=\,..=\dfrac{2}{\sin2\vartheta }
που παίρνει ελάχιστο όταν sin2\vartheta =1

Άρα min(tan\vartheta +tan\varphi )=2

β) Είναι tan \vartheta +\tan \varphi=4\Leftrightarrow \dfrac{2}{sin2\vartheta }=4\Leftrightarrow sin2\vartheta =\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\vartheta =30^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =15^{\circ}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εφαπτόμενες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 23, 2019 8:37 am

Ωραίοι και οι δύο :clap2: . Αλήθεια είστε συγγενείς ; Για το προαιρετικό : Αξιοποιώντας τον τύπο

για την \tan3x , τον γνωστό για την \tan2x και τον τύπο της \tan(3x+2x) , θα βρούμε -

με πολλές πράξεις - ότι : \tan5x=\tan x \dfrac{\tan^4x-10\tan^2x+5}{5\tan^4x-10\tan^2x+1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης