Σταθερό πολυώνυμο

panagiotis iliopoulos · #1

Καλησπέρα σας. Αν για ένα πολυώνυμο ισχύει $P(x)=P(x+k), k\neq 0$ για κάθε $x\epsilon R$ τότε μπορώ να συμπεράνω ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 7:29 am
Καλησπέρα σας. Αν για ένα πολυώνυμο ισχύει $P(x)=P(x+k), k\neq 0$ για κάθε $x\epsilon R$ τότε μπορώ να συμπεράνω ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό;

Καλημέρα. Ναι μπορείς.Για τον φάκελο που είμαστε υπέθεσε ότι είναι βαθμού $n\geq1$ . Με τη βοήθεια της σχέσης που δίνεται συμπέρανε ότι P(0)=P(k)=P(2k)=P(3k)...

για να φτάσεις σε άτοπο. Εδώ θα σε βοηθήσει το διωνυμικό ανάπτυγμα. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

JimNt. · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 7:29 am
Καλησπέρα σας. Αν για ένα πολυώνυμο ισχύει $P(x)=P(x+k), k\neq 0$ για κάθε $x\epsilon R$ τότε μπορώ να συμπεράνω ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό;

Ναι. Αν θεωρήσεις μια ρίζα (υποθέτεις ότι δεν είναι μηδενικό) τότε παίρνεις άπειρο πλήθος ριζών, που είναι άτοπο. Άρα

σταθερό.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 7:46 am
Εδώ θα σε βοηθήσει το διωνυμικό ανάπτυγμα. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

Μικρή παραλλαγή: Μπορούμε να γλυτώσουμε την χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος εξετάζοντας το Q(x)=P(x)-P(0)

. Τώρα εξακολουθεί να ισχύει η Q(x)=Q(x+k)

αλλά έχουμε ακόμα Q(0)=0

. Συνέχισε.

Σταθερό πολυώνυμο

Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Re: Σταθερό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση