Συστηματική εργασία

KARKAR · #1

$\bigstar$ Διερευνήστε το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x(x+1)-y(y-1) & =a\\ (x+y)^2(x-y)& =\dfrac{2a^2}{9} \end{matrix}\right$

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 29, 2018 10:18 pm
$\bigstar$ Διερευνήστε το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x(x+1)-y(y-1) & =a\\ (x+y)^2(x-y)& =\dfrac{2a^2}{9} \end{matrix}\right$

Εκτελώντας τις πράξεις στην πρώτη εξίσωση έχουμε:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + x - y^2 + y & =a\\ (x+y)^2(x-y)& =\dfrac{2a^2}{9} \end{matrix}\right$

$\left\{\begin{matrix} x^2 - y^2+ x + y & =a\\ (x+y)(x^2-y^2)& =\dfrac{2a^2}{9} \end{matrix}\right$

Θέτοντας x^2 -y^2 = k, x+y = m

το σύστημα γίνεται:

$\left\{\begin{matrix} k+ m & =a\\ k\cdot m& =\dfrac{2a^2}{9} \end{matrix}\right$

Άρα θέλουμε δύο αριθμούς με άθροισμα k+m = a

και γινόμενο $k\cdot m = \frac{2a^2}{9}$ .

Θεωρώντας την εξίσωση $x^2 -ax + \frac{2a^2}{9}=0$ έχει διακρίνουσα $\Delta = \frac{a^2}{9} \geq 0$
και λύσεις $k = \frac{2a}{3}, m=\frac{a}{3}$ που για $a\neq 0$ είναι διαφορετικές μεταξύ τους.

* Αν a=0

τότε $\Delta = 0$ και $k=m=0 \Rightarrow x^2 -y^2 = 0 = x+y \Rightarrow a=0 , x= -y$ .
* Αν $a\neq 0$
τότε έχουμε:
$\left\{\begin{matrix} x^2 - y^2 & = \dfrac{2a}{3}\\ x+y& =\dfrac{a}{3} \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x - y & = 2\\ x+y& =\dfrac{a}{3} \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = 1 +\dfrac{a}{6}\\ y& =\dfrac{a}{6}-1 \end{matrix}\right$

ή
$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x+y) & = \dfrac{a}{3}\\ x+y& =\dfrac{2a}{3} \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y & = \dfrac{1}{2}\\ x+y& =\dfrac{2a}{3} \end{matrix}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = \dfrac{a}{3}+\dfrac{1}{4}\\ y& =\dfrac{a}{3}-\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right$

Συστηματική εργασία

Συστηματική εργασία

Re: Συστηματική εργασία

Μέλη σε σύνδεση