εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

#1

Παρμένη από εδώ: viewtopic.php?f=136&t=62895

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle 3 \cdot 2^{\cos x +3\sqrt{1-\sin^2 x}} + 11 \cdot 2^{2\cos x} -34=0$

#2

Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις, που καλύπτουν ευρύ φάσμα της ύλης.

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle 3\cdot{2^{\cos x + 3\sqrt {1 - {{\sin }^2}x} }} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0 \Leftrightarrow 3\cdot{2^{\cos x + 3\left| {\cos x} \right|}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0$

Αν $\displaystyle \cos x < 0$ η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle 3\cdot{2^{ - 2\cos x}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{{2^{2\cos x}}}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0$

Θέτουμε $\displaystyle {2^{2\cos x}} = y,\;\;y > 0$ , οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle \frac{3}{y} + 11y - 34 = 0 \Leftrightarrow 11{y^2} - 34y + 3 = 0$ , που έχει ρίζες $\displaystyle y = 3\;\;\; \vee \;\;\;y = \frac{1}{{11}}$

Είναι $\displaystyle y = 3\;\;\; \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\ln 3}}{{\ln 4}}$ , λύση που απορρίπτεται

ή $\displaystyle y = \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - \ln 11}}{{\ln 4}} < - 1$ , απορρίπτεται.

Αν $\displaystyle \cos x > 0$ η εξίσωση γράφεται $\displaystyle 3\cdot{2^{4\cos x}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0$

Θέτουμε $\displaystyle {2^{2\cos x}} = y,\;\;y > 0$ , οπότε η εξίσωση γίνεται $\displaystyle 3{y^2} + 11y - 34 = 0$ ,

που έχει ρίζες είτε $\displaystyle y = - 6$ που απορρίπτεται

είτε $\displaystyle y = 2 \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = 2 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3},\;\;k \in Z$ .

Μήπως πρέπει να μεταφερθεί το θέμα στον αρχικό φάκελο;

εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

Re: εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

Μέλη σε σύνδεση