Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Tolaso J Kos · #1

Αν $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\log_\alpha \theta - \log_\beta \theta}{\log_\beta \theta - \log_\gamma \theta}= \frac{\log_\alpha \theta}{\log_\gamma \theta}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 22, 2018 5:57 pm
Αν $\alpha, \beta, \gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\log_\alpha \theta - \log_\beta \theta}{\log_\beta \theta - \log_\gamma \theta}= \frac{\log_\alpha \theta}{\log_\gamma \theta}}$

Γεια σου Τόλη!

Με χιαστί και αλλαγή βάσης για $\displaystyle 0 < a,b,c,\theta \ne 1,$ η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle 2\frac{{\log \theta }}{{\log a}} \cdot \frac{{\log \theta }}{{\log c}} = \frac{{\log \theta }}{{\log b}} \cdot \frac{{\log \theta }}{{\log c}} + \frac{{\log \theta }}{{\log a}} \cdot \frac{{\log \theta }}{{\log b}} \Leftrightarrow {(\log \theta )^2}\left( {2\log b - \log a - \log c} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \log {b^2} = \log (ac) \Leftrightarrow {b^2} = ac,$ που ισχύει.

Tolaso J Kos · #3

Γεια σου Γιώργο. ΟΚ με το χιαστί; Αλλά αν το δεξί δε δίνεται, τότε κάτι πιο ευθύ υπάρχει ;

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 22, 2018 7:59 pm
Γεια σου Γιώργο. ΟΚ με το χιαστί; Αλλά αν το δεξί δε δίνεται, τότε κάτι πιο ευθύ υπάρχει ;

Υπάρχει, αλλά επειδή βιάζομαι να φύγω, θα το γράψω αύριο, αν δεν το γράψει κάποιος άλλος.

#5

Καλησπέρα σε όλους. Η ευθεία απόδειξη. Νομίζω ήταν σχολική άσκηση κάποτε ή με γελά η μνήμη μου;

$\displaystyle \frac{{{{\log }_a}\theta - {{\log }_b}\theta }}{{{{\log }_b}\theta - {{\log }_c}\theta }} = \frac{{\frac{{\log \theta }}{{\log a}} - \frac{{\log \theta }}{{\log b}}}}{{\frac{{\log \theta }}{{\log b}} - \frac{{\log \theta }}{{\log c}}}} = \frac{{\frac{1}{{\log a}} - \frac{1}{{\log b}}}}{{\frac{1}{{\log b}} - \frac{1}{{\log c}}}} = \frac{{\log \frac{b}{a} \cdot \log c}}{{\log \frac{c}{b} \cdot \log a}} = \frac{{\log c}}{{\log a}} = \frac{{\frac{{\log \theta }}{{\log a}}}}{{\frac{{\log \theta }}{{\log c}}}} = \frac{{{{\log }_a}\theta }}{{{{\log }_c}\theta }}$ .

Η απλοποίηση επετεύχθη γιατί $\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{b}{a} = \lambda$ , αφού είναι διαδοχικοί όροι Γ. Π.

Tolaso J Kos · #6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 22, 2018 9:06 pm
Νομίζω ήταν σχολική άσκηση κάποτε ή με γελά η μνήμη μου;

Αν σε γελά η δική σου μνήμη, τότε με γελά και η δική μου. Γεια σου Γιώργο.!

#7

Καλησπέρα Αποστόλη

Άσκηση 4 σελ. 186, γενικές ασκήσεις στο εν χρήσει σχολικό βιβλίο. Κι έλεγα: "Τι μού θυμίζει, τι μού θυμίζει;"

Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Re: Γεωμετρική πρόοδος και λογάριθμος

Μέλη σε σύνδεση