Ο κύκλος - γίγαντας

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11763
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο κύκλος - γίγαντας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 08, 2018 9:07 pm

Ο  κύκλος - γίγαντας.png
Ο κύκλος - γίγαντας.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές
Μεγάλος κύκλος ακτίνας R εφάπτεται στο άκρο B της διαμέτρου AB=5 , μικρότερου κύκλου .

Το εφαπτόμενο τμήμα AT προς τον μεγάλο κύκλο , τέμνει τον μικρό σε σημείο S . Αν ST=12 ,

υπολογίστε την ακτίνα R του κύκλου - γίγαντα .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12496
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ο κύκλος - γίγαντας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 08, 2018 9:35 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 9:07 pm
Ο κύκλος - γίγαντας.pngΜεγάλος κύκλος ακτίνας R εφάπτεται στο άκρο B της διαμέτρου AB=5 , μικρότερου κύκλου .

Το εφαπτόμενο τμήμα AT προς τον μεγάλο κύκλο , τέμνει τον μικρό σε σημείο S . Αν ST=12 ,

υπολογίστε την ακτίνα R του κύκλου - γίγαντα .
O το κέντρο του μεγάλου κύκλου και R η ακτίνα του, τότε τα τρίγωνα ASB, ATO είναι όμοια. Άρα \displaystyle{\frac {5}{AS}=\frac {5+R}{AS+12}}. Επίσης από την δύναμη του σημείου A είναι \displaystyle{5(5+2R)=(AS+12)^2}. Λύνοντας το σύστημα είναι \displaystyle{AS=3, \, R =20}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11763
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο κύκλος - γίγαντας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 09, 2018 7:53 am

Ο  κύκλος - γίγαντας.png
Ο κύκλος - γίγαντας.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές
Το σχήμα της ωραίας λύσης του Μιχάλη . Ας μου επιτραπούν οι εξής τρεις παρατηρήσεις :

1) Απλοποιούμε την πρώτη σχέση , γράφοντας : \dfrac{5}{x}=\dfrac{R}{12} .

2) Αποφεύγουμε την δύναμη σημείου ως προς κύκλο ( που είναι δυστυχώς εκτός ύλης πλέον ) , αντικαθιστώντας

τη δεύτερη σχέση με το Πυθαγόρειο θεώρημα : (x+12)^2+R^2=(5+R)^2

3) ..και κυριότερο : Όταν μια άσκηση με γεωμετρικό "υπόβαθρο" τοποθετείται σε φάκελο Άλγεβρας , η βαρύτητα

δίνεται στην επίλυση του αλγεβρικού μέρους , συνεπώς ουσιαστικό τμήμα της άσκησης ( κατά τον θεματοδότη )

είναι και η επίλυση του συστήματος ( δηλαδή να φαίνεται πως το λύσαμε ) ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12496
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ο κύκλος - γίγαντας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 09, 2018 9:13 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 7:53 am
1) Απλοποιούμε την πρώτη σχέση , γράφοντας : \dfrac{5}{x}=\dfrac{R}{12} .
Όχι ακριβώς. Πρώτα απ' όλα η σχέση \displaystyle{ \displaystyle{\frac {5}{AS}=\frac {5+R}{AS+12}}} είναι άμεσα ισοδύναμη (αφαιρούμε αριθμητές και παρονομαστές ή, αν πολλαπλασιάσουμε χιαστί εκάστη ισότητα για να διώξουμε τα κλάσματα - που αυτό θα κάνουμε στην διαδικασία επίλυσης - θα βρούμε ακριβώς την ίδια σχέση). Αλλά υπάρχει βαθύτερος λόγος που έγραψα την "πιο σύνθετη" σχέση: Η παράσταση AS+12 εμφανίζεται και στην δεύτερη σχέση, την \displaystyle{5(5+2R)=(AS+12)^2} , οπότε βολεύει στην επίλυση.
KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 7:53 am

συνεπώς ουσιαστικό τμήμα της άσκησης ( κατά τον θεματοδότη )
είναι και η επίλυση του συστήματος ( δηλαδή να φαίνεται πως το λύσαμε ) ...
Θα διαφωνήσω και το έχω απαντήσει αυτό εδώ (στο τελευταίο μέρος του ποστ #5). Με λίγα λόγια, τα Μαθηματικά θέλουν χαρτί και μολύβι. Κατά εδραιωμένη πεποίθησή μου το να αφήνουμε τα βήματα ρουτίνας για να αναδείξουμε την ουσία της άσκησης είναι ακρογωνιαίος λίθος στην παρουσίαση ιδεών με μείζονα πλεονεκτήματα.

Θανάση, έχεις τον τρόπο σου να συμβάλεις στην διάδοση των Μαθηματικών. Τον εκτιμούμε και τον θαυμάζουμε. Από την άλλη, έχω και εγώ τον δικό μου τρόπο. Και τον εφαρμόζω ευρύτατα καθώς διδάσκω συχνότατα μαθητές από την Β' Δημοτικού, στο Γυμνάσιο, το Λύκειο, φοιτητές, μεταπτυχιακούς φοιτητές, έμπειρους συναδέλφους, και στα ποστ μου στο mathematica.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9668
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο κύκλος - γίγαντας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 09, 2018 10:23 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 9:07 pm
Ο κύκλος - γίγαντας.pngΜεγάλος κύκλος ακτίνας R εφάπτεται στο άκρο B της διαμέτρου AB=5 , μικρότερου κύκλου .

Το εφαπτόμενο τμήμα AT προς τον μεγάλο κύκλο , τέμνει τον μικρό σε σημείο S . Αν ST=12 ,

υπολογίστε την ακτίνα R του κύκλου - γίγαντα .
Ο κύκλος - Γίγαντας.png
Ο κύκλος - Γίγαντας.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές
Φέρνω την TH\bot AO και εύκολα βρίσκω ότι TH=12 (\displaystyle T\widehat OA = 2A\widehat TB = A\widehat TH, κλπ)

\displaystyle O{T^2} = OH \cdot OA \Leftrightarrow OH = \frac{{{R^2}}}{{R + 5}} και με Π.Θ στο THO, καταλήγω στην 10R^3-119R^2-1440R-3600=0,

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{R=20} (Αν πω ότι τη βρήκα με Horner με θα με πιστέψει κανείς; :lol: )


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11763
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο κύκλος - γίγαντας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 09, 2018 10:29 am

Μιχάλη , η παρατήρηση σ'αυτό το ποστ , δεν έχει σχέση με εκείνη της παραπομπής .

Αν π.χ στον φάκελο " Άλγεβρα Β' Λυκείου " , αναρτούσε κάποιος θέμα με

εκφώνηση : Να λυθεί το σύστημα :  
\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{5}{x} & =\dfrac{5+R}{x+12}\\ 
  
 5(5+2R)& =(x+12)^2 
\end{matrix}\right.
η απάντηση δεν θα μπορούσε ασφαλώς να είναι : Λύνοντας το σύστημα , είναι : x=3 ,R=20 ,

παρότι το σύστημα - όχι , πάντως , κάτι ιδιαίτερα δύσκολο - είναι το ίδιο .

Θέλω να πω ότι το κάθε θέμα χρήζει αντιμετώπισης , που πρέπει να είναι ανάλογη με τον φάκελο

στον οποίο ο θεματοδότης το έχει τοποθετήσει κι ελπίζω σ'αυτό να συμφωνείς ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης