Τιμή παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Έστω

πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\log_2\left ( \log_4 x \right ) + \log_4 \left ( \log_{16} x \right ) + \log_{16} \left ( \log_2 x \right ) =0 }$
Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{T} = \log_2 \left ( \log_{16} x \right ) + \log_{16} \left ( \log_4 x \right ) + \log_4\left ( \log_2 x \right ) }$

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle {\log _2}x = y \Rightarrow {\log _4}x = \frac{y}{2}\;\;\; \wedge \;\;{\log _{16}}x = \frac{y}{4}$ .

Οπότε $\displaystyle {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) + {\log _4}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) + {\log _{16}}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}\frac{y}{2} + {\log _4}\frac{y}{4} + {\log _{16}}y = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\frac{y}{2} + \frac{{{{\log }_2}\frac{y}{4}}}{2} + \frac{{{{\log }_2}y}}{4} = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}y + \frac{{lo{g_2}y}}{2} + \frac{{{{\log }_2}y}}{4} = 2 \Leftrightarrow {\log _2}y = \frac{8}{7}$ .

Οπότε $\displaystyle {\cal T} = {\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) + {\log _{16}}\left( {{{\log }_4}x} \right) + {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)$

$\displaystyle = {\log _2}\frac{y}{4} + {\log _{16}}\frac{y}{2} + {\log _4}y = {\log _2}y - 2 + \frac{{{{\log }_2}y - 1}}{4} + \frac{{{{\log }_2}y}}{2}$

$\displaystyle = \frac{8}{7} - 2 + \frac{{\frac{8}{7} - 1}}{4} + \frac{{\frac{8}{7}}}{2} = - \frac{1}{4}$ .

edit: Διόρθωσα ένα αριθμητικό λάθος. Ευχαριστώ τον Αποστόλη και των Γιώργο Βισβίκη, για την διακριτική υπόδειξη του λάθους.

Tolaso J Kos · #3

Βγάζω $-\frac{1}{4}$ . Πιο συγκεκριμένα αν δηλώσουμε με $\mathcal{A}$ την αρχική παράσταση τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{T} - \mathcal{A} &= \log_2 \left ( \frac{\log_{16}x}{\log_4 x} \right ) + \log_4 \left ( \frac{\log_2 x}{\log_{16}x} \right ) + \log_{16} \left ( \frac{\log_4 x}{\log_2 x} \right ) \\ &= \log_2 \left ( \log_{16} 4 \right ) + \log_4 \left ( \log_2 16 \right ) + \log_{16} \left ( \log_4 2 \right ) \\ &=\log_2 \frac{1}{2} + \log_4 4 + \log_{16} \frac{1}{2} \\ &=(-1) + 1 + \left ( -\frac{1}{4} \right ) \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}}$

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση