Κυβικές ρίζες

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10004
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κυβικές ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am

Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 331
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Κυβικές ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:16 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
Έστω a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} και b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} . Τότε, a \cdot b=1 και a^3-b^3=4.

Εξάλλου: (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\Leftrightarrow (a-b)^3=4-3(a-b) (1).

Θέτοντας a-b=k στην (1), έχουμε k^3=4-3k που έχει μοναδική πραγματική ρίζα το k=1, επομένως \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=k=1


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3537
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Κυβικές ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:22 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
Θανάση, βρίσκω 1. Ας την αφήσουμε λίγο μήπως κάποιος άλλος θέλει να ασχοληθεί... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7219
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κυβικές ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:33 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 9:35 am
Υπολογίστε την τιμή της πατάστασης : \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}
Παρόμοιο.

Έστω \displaystyle \sqrt 5  + 2 = a,\sqrt 5  - 2 = b \Rightarrow a - b = 4,ab = 1

\displaystyle x = \sqrt[3]{{\sqrt 5  + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5  - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} = \frac{{a - b}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{ab}}}}

\displaystyle x = \frac{4}{{{x^2} + 3}} \Leftrightarrow \boxed{x=1}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7889
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κυβικές ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 09, 2018 12:01 pm

Ας «απλοποιηθεί» περισσότερο το \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}. Είμαι επίτηδες κάπως ασαφής. Αν χρειαστεί θα διευκρινίσω αργότερα τι ακριβώς ζητάω.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Κυβικές ρίζες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Νοέμ 09, 2018 1:48 pm

Καλησπέρα,

\left ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )^{3}=\sqrt{5}+2

\left ( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{3}=\sqrt{5}-2

Και η ζητούμενη παράσταση ισούται με 1.

Αλέξανδρος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7219
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κυβικές ρίζες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 09, 2018 1:51 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 12:01 pm
Ας «απλοποιηθεί» περισσότερο το \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}. Είμαι επίτηδες κάπως ασαφής. Αν χρειαστεί θα διευκρινίσω αργότερα τι ακριβώς ζητάω.
Πράγματι, είναι \displaystyle \sqrt[3]{{\sqrt 5  + 2}} = \Phi ,\sqrt[3]{{\sqrt 5  - 2}} = \Phi  - 1, όπου \displaystyle \Phi  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}, κλπ...

Με πρόλαβαν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης