Σύστημμα με λογάριθμους

Xriiiiistos · #1

Να βρεθούν οι δυάδες των πραγματικών αριθμών (x,y)

ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω εξισώσεις

$4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32$

$log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1$

Tolaso J Kos · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 1:44 pm
Να βρεθούν οι δυάδες των πραγματικών αριθμών ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω εξισώσεις

$4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32$

$log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1$

Καταρχάς , πρέπει x+y>0

και

. Από τη πρώτη εξίσωση συμπεραίνουμε ότι x, y>0

αλλιώς σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε άτοπο. Συνεπώς είναι x>y>0

. Παίρνοντας λογαρίθμους στη πρώτη σχέση έχουμε:

$\displaystyle{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{\log 32}{\log 4} = \frac{5 \log 2}{2 \log 2} = \frac{5}{2} }$
Η δεύτερη σχέση μας δίδει $\displaystyle{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) = 3 }$ . Μένει λοιπόν να λύσουμε το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & = & \dfrac{5}{2} \\\\ \left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) & = & 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \cdots \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x & = &2 \\ y & = & 1 \end{matrix}\right.}$
και αυτή είναι και η ζητούμενη λύση.

Ratio · #3

Υπάρχει και δεύτερο ζευγάρι λύσεων
'Εστω ότι $\frac{x}{y}=u\Leftrightarrow x=yu$ , τότε το σύστημα γίνεται
$u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2u^2-5u+2=0\Leftrightarrow u=2 ,u=\frac{1}{2}$
Στη δεύτερη εξίσωση θέτοντας όπου x=yu

, προκύπτει y^2(u-1)=3

, όπου για u=2

, θα έχουμε y=1

ή

επομένως προκύπτουν οι λύσεις (-2,-1)

και

Η περίπτωση για $u=\frac{1}{2}$ , απορρίπτεται από τη δεύτερη εξίσωση αφού δίνει y^2=-4

, που είναι άτοπο

Tolaso J Kos · #4

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:43 am
Υπάρχει και δεύτερο ζευγάρι λύσεων
'Εστω ότι $\frac{x}{y}=u\Leftrightarrow x=yu$ , τότε το σύστημα γίνεται
$u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2u^2-5u+2=0\Leftrightarrow u=2 ,u=\frac{1}{2}$
Στη δεύτερη εξίσωση θέτοντας όπου , προκύπτει , όπου για , θα έχουμε ή
επομένως προκύπτουν οι λύσεις και
Η περίπτωση για $u=\frac{1}{2}$ , απορρίπτεται από τη δεύτερη εξίσωση αφού δίνει , που είναι άτοπο

Δεν υπάρχει δεύτερο ζευγάρι λύσεων. Το σημείο (-2, -1)

δεν επαληθεύει τη δεύτερη εξίσωση. Πράγματι:

$\displaystyle{\log_3 (-2-1) + \log_3 (-2 +1 ) = \text{\gr δεν ορίζεται}}$

Ratio · #5

Σωστό,
έδωσα και τη δεύτερη λύση γιατί πήρα κατευθείαν $log_{3}(x^2-y^2)=1$
Παίρνοντας πεδίο ορισμού για τη δεύτερη θέλουμε x+y>0

και

, δηλαδή $\left | x \right |>\left | y \right |$

και εκεί η λύση (-2,-1)

στέκει

Christos.N · #6

Άλλο το πεδίο ορισμού της $log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1$ και άλλο το πεδίο ορισμού της $log_{3}(x^2-y^2)=1$ στο πρόβλημα αυτό είναι ξεκάθαρο έτσι όπως δίνεται ότι πρέπει να δουλέψουμε για x>|y|

και όχι για |x|>|y|

.

Σύστημμα με λογάριθμους

Σύστημμα με λογάριθμους

Re: Σύστημα με λογάριθμους

Re: Σύστημα με λογάριθμους

Re: Σύστημα με λογάριθμους

Re: Σύστημμα με λογάριθμους

Re: Σύστημμα με λογάριθμους

Μέλη σε σύνδεση