Σύστημμα με λογάριθμους

Συντονιστής: exdx

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Σύστημμα με λογάριθμους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Ιούλ 11, 2018 1:44 pm

Να βρεθούν οι δυάδες των πραγματικών αριθμών (x,y) ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω εξισώσεις


4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32


log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα με λογάριθμους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 11, 2018 2:19 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 1:44 pm
Να βρεθούν οι δυάδες των πραγματικών αριθμών (x,y) ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω εξισώσεις


4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32


log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1

Καταρχάς , πρέπει x+y>0 και x-y>0. Από τη πρώτη εξίσωση συμπεραίνουμε ότι x, y>0 αλλιώς σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε άτοπο. Συνεπώς είναι x>y>0. Παίρνοντας λογαρίθμους στη πρώτη σχέση έχουμε:

\displaystyle{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{\log 32}{\log 4} = \frac{5 \log 2}{2 \log 2} = \frac{5}{2} }
Η δεύτερη σχέση μας δίδει \displaystyle{\left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) = 3 }. Μένει λοιπόν να λύσουμε το σύστημα:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & =  & \dfrac{5}{2} \\\\  
\left ( x+y \right )\left ( x-y \right ) & = & 3 
\end{matrix}\right.\Rightarrow  \cdots \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x & = &2 \\  
y & = & 1 
\end{matrix}\right.}
και αυτή είναι και η ζητούμενη λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Ratio
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Σύστημα με λογάριθμους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:43 am

Υπάρχει και δεύτερο ζευγάρι λύσεων
'Εστω ότι \frac{x}{y}=u\Leftrightarrow x=yu, τότε το σύστημα γίνεται
u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2u^2-5u+2=0\Leftrightarrow u=2 ,u=\frac{1}{2}
Στη δεύτερη εξίσωση θέτοντας όπου x=yu, προκύπτει y^2(u-1)=3, όπου για u=2, θα έχουμε y=1 ή y=-1
επομένως προκύπτουν οι λύσεις (-2,-1) και (2,1)
Η περίπτωση για u=\frac{1}{2}, απορρίπτεται από τη δεύτερη εξίσωση αφού δίνει y^2=-4, που είναι άτοπο


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα με λογάριθμους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:59 am

Ratio έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:43 am
Υπάρχει και δεύτερο ζευγάρι λύσεων
'Εστω ότι \frac{x}{y}=u\Leftrightarrow x=yu, τότε το σύστημα γίνεται
u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2u^2-5u+2=0\Leftrightarrow u=2 ,u=\frac{1}{2}
Στη δεύτερη εξίσωση θέτοντας όπου x=yu, προκύπτει y^2(u-1)=3, όπου για u=2, θα έχουμε y=1 ή y=-1
επομένως προκύπτουν οι λύσεις (-2,-1) και (2,1)
Η περίπτωση για u=\frac{1}{2}, απορρίπτεται από τη δεύτερη εξίσωση αφού δίνει y^2=-4, που είναι άτοπο
Δεν υπάρχει δεύτερο ζευγάρι λύσεων. Το σημείο (-2, -1) δεν επαληθεύει τη δεύτερη εξίσωση. Πράγματι:

\displaystyle{\log_3 (-2-1) + \log_3 (-2 +1 ) = \text{\gr δεν ορίζεται}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Ratio
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Σύστημμα με λογάριθμους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:25 am

Σωστό,
έδωσα και τη δεύτερη λύση γιατί πήρα κατευθείαν log_{3}(x^2-y^2)=1
Παίρνοντας πεδίο ορισμού για τη δεύτερη θέλουμε x+y>0 και x-y>0, δηλαδή \left | x \right |>\left | y \right |

και εκεί η λύση (-2,-1) στέκει


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1584
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σύστημμα με λογάριθμους

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Ιούλ 12, 2018 2:59 pm

Άλλο το πεδίο ορισμού της log_{3}(x+y)+log_{3}(x-y)=1 και άλλο το πεδίο ορισμού της log_{3}(x^2-y^2)=1 στο πρόβλημα αυτό είναι ξεκάθαρο έτσι όπως δίνεται ότι πρέπει να δουλέψουμε για x>|y| και όχι για |x|>|y|.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης