Πολυώνυμο!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω

πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το Q(x)=P(x)+12

έχει τουλάχιστον

ακέραιες ρίζες, το P(x)

δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

sokpanvas · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το έχει τουλάχιστον ακέραιες ρίζες, το δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

Έστω ότι

, $k\in \mathbb{Z}$ και ότι $Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_6)R(x)$ τότε αφού Q(x)=P(x)+12

τα

έχουν ακέραιους συντελεστές.Έχουμε ότι $Q(k)=12\Rightarrow (k-r_1)(k-r_2)\cdots(k-r_6)R(k)=12$ άτοπο αφού το

μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο το πολύ 5 διαφορετικών ακεραίων (1*(-1)*2*(-2)*3)

Ορέστης Λιγνός · #3

sokpanvas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 8:20 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το έχει τουλάχιστον ακέραιες ρίζες, το δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.
Έστω ότι , $k\in \mathbb{Z}$ και ότι $Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_6)R(x)$ τότε αφού τα έχουν ακέραιους συντελεστές.Έχουμε ότι $Q(k)=12\Rightarrow (k-r_1)(k-r_2)\cdots(k-r_6)R(k)=12$ άτοπο αφού το μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο το πολύ 5 διαφορετικών ακεραίων

Πολυώνυμο!

Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Re: Πολυώνυμο!

Μέλη σε σύνδεση