Σημεία τομής

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R$ και η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=x+b$ .
α) Να δείξετε ότι αν $\displaystyle |a|\,\ge 1$ η ευθεία τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
β) Να βρείτε το $\displaystyle b$ ώστε για δεδομένο $\displaystyle a$ με $\displaystyle |a|<1$ η ευθεία να μην τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2017 5:30 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R$ και η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=x+b$ .
α) Να δείξετε ότι αν $\displaystyle |a|\,\ge 1$ η ευθεία τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
β) Να βρείτε το $\displaystyle b$ ώστε για δεδομένο $\displaystyle a$ με $\displaystyle |a|<1$ η ευθεία να μην τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$

Γιώργη καλημέρα και χρόνια πολλά.

1) Η συνάρτηση

είναι ορισμένη για $x \neq 1,1$ .
Για κάθε $\displaystyle{x \neq \pm 1}$ τα σημεία τομής της C_f

με την ευθεία με εξίσωση y=x+b

προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:
$\displaystyle{f(x)=x+b \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (-a-b-2)x^2+(1+2a)x+b=0 (I)}$ .
* Αν $-a-b-2 =0 \Leftrightarrow b=-a-2$ , έχουμε:
$\displaystyle{(I)\Leftrightarrow (1+2a)x-a-2=0 \Leftrightarrow x=\frac{a+2}{1+2a}}$ , αφού $\displaystyle{a\neq -\frac{1}{2}}$ δεδομένου ότι $|a| \geq 1$ .

* Αν $-a-b-2\neq 0 \Leftrightarrow b\neq-a-2$ , η εξίσωση (I)

είναι δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα:
$\displaystyle{\Delta=(1+2a)^2-4b(-a-b-2)=...=4b^2+4(a+2)b+(2a+1)^2 (II).}$
Το τριώνυμο $\displaystyle{4x^2+4(a+2)x+(2a+1)^2}$ έχει διακρίνουσα
$\displaystyle{\Delta_1=(4(a+2))^2-16(2a+1)^2=...=48(1-a)(1+a) \leq 0}$ ,
οπότε $\displaystyle{(II) \Leftrightarrow \Delta \geq 0}$ ,
άρα η εξίσωση (I)

έχει πάντα πραγματικές ρίζες, δηλαδή η C_f

τέμνεται πάντα με την ευθεία με εξίσωση y=x+b

όταν $|a| \geq 1$ .

2) Έστω ότι: |a|<1

.
* Αν $-a-b-2\neq 0$ έχουμε ότι $\Delta_1>0$ , οπότε $\displaystyle{\Delta=4(b-b_1)(b-b_2)}$ , όπου $\displaystyle{b_{1,2}=\frac{-4(a+2) \pm \sqrt{\Delta_1}}{8}}$ .
Αφού θέλουμε η C_f

να μην τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x+b

, πρέπει η εξίσωση (I)

να είναι αδύνατη, δηλαδή πρέπει $\displaystyle{\Delta<0 \Leftrightarrow \frac{-4(a+2)- \sqrt{\Delta_1}}{8}<b<\frac{-4(a+2) + \sqrt{\Delta_1}}{8} (IV)}$ .
Επομένως οποιοδήποτε

που ικανοποιεί την (IV)

είναι απάντηση, για παράδειγμα $\displaystyle{b=-\frac{a+2}{2}}$ .
* Αν -a-b-2=0

η εξίσωση

είναι πρώτου βαθμού και θέλουμε να μην έχει λύση οπότε πρέπει $\displaystyle{1+2a=0 \Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2017 5:30 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{({{x}^{2}}-2x)(x-a)}{{{x}^{2}}-1},a\in R$ και η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=x+b$ .
α) Να δείξετε ότι αν $\displaystyle |a|\,\ge 1$ η ευθεία τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$
β) Να βρείτε το $\displaystyle b$ ώστε για δεδομένο $\displaystyle a$ με $\displaystyle |a|<1$ η ευθεία να μην τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$

Γιώργη Χρόνια Πολλά.

Το πρώτο τουλάχιστον ερώτημα έχει πρόβλημα.

Συγκεκριμένα.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το $\mathbb{R}-\left \{ 1,-1 \right \}$

Αν πάρουμε a=1,b=-3

με βάση την άσκηση πρέπει η ευθεία να έχει τομή με την $\displaystyle {{C}_{f}}$

Δηλαδή η εξίσωση $\displaystyle \frac{({{x}^{2}}-2x)(x-1)}{{{x}^{2}}-1}=x-3$

να έχει λύση διαφορετική των -1,1

Αν δεν έχω κάνει λάθος η εξίσωση είναι ισοδύναμη για $x\neq 1,-1$

με την 3x-3=0

.

Αυτή όμως έχει λύση την x=1

που ήδη το έχουμε αποκλείσει.

Ακόμα και την απλοποίηση να κάνουμε και να θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση για a=1

ορίζεται στο

τότε η εξίσωση γράφεται $\dfrac{x^{2}-2x}{x+1}=x-3$

που είναι αδύνατη.

Σημεία τομής

Σημεία τομής

Re: Σημεία τομής

Re: Σημεία τομής

Μέλη σε σύνδεση