Περιέργο σύστημα

Al.Koutsouridis · #1

Να αποδείξετε, ότι το σύστημα

$\Displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 15x^3+36x^2+22x+4 = 0 \\ 9\sin \dfrac{\pi}{x}+ \cos \left ( \left (5x+1\right )y\right ) = y \left (y+\dfrac{2}{x}-1\right ) + \sqrt{\dfrac{4}{x}+16+5x(1-5x)} \sin y \end{matrix}\right.}$

δεν έχει λύσεις.

Παπαστεργίου Κώστας · #2

Στη δεύτερη εξίσωση το υπόριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό δηλαδή $\frac{4+16x+5x^{2}-25x^{3}}{x}\geq$ 0
Αντικαθιστώντας τον αριθμητή με το ίσο του από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε την τριωνυμική ανισότητα $40x^{2}+31x+6\geq 0$ (1) από την οποία ο x πρέπει να είναι εκτός των ριζών $-\frac{3}{8}$ και $-\frac{2}{5}$ . Από τις ρίζες αυτές η $-\frac{2}{5}$ ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση οπότε διαιρώντας με 5x+2 βρίσκουμε πηλίκο $3x^{2}+6x+2$ . Έτσι οι υπόλοιπες ρίζες της πρώτης εξίσωσης είναι οι $\frac{-3-\sqrt{3}}{3}$ και $\frac{-3+\sqrt{3}}{3}$ . Η κάθε μια από αυτές είναι μεταξύ των $-\frac{2}{5}$ και $-\frac{3}{8}$ οπότε δεν ικανοποιούν την ανισότητα (1) και απορρίπτονται. Απομένει λοιπόν η $-\frac{2}{5}$ την οποία αντικαθιστούμε στη δευτέρα εξίσωση και μετά τις πράξεις παίρνουμε $cosy=(y-3)^{2}$ Η εξίσωση αυτή δεν έχει λύσεις διότι:
Για να υπάρχει λύση πρέπει $(y-3)^{2}\leq 1$ $\Rightarrow -1\leq y-3\leq 1\Rightarrow 2\leq y\leq 4$ Αλλά $\frac{\pi }{2}< 2$ και $4< \frac{3\pi }{2}$ οπότε $\frac{\pi }{2}< y < \frac{3\pi }{2}$
όπου η μεν $(y-3)^{2}$ είναι μη αρνητική (κάθεται ανάσκελα στον άξονα χ στη θέση 3) η δε cosy

είναι αρνητική άρα δεν μπορούν να τέμνονται . Έτσι το σύστημα δεν έχει λύσεις.
ΠΚ

Al.Koutsouridis · #3

Για την ιστορία το πρόβλημα είναι από εισαγωγικές εξετάσεις στην Ρωσία (2007).

Περιέργο σύστημα

Περιέργο σύστημα

Re: Περιέργο σύστημα

Re: Περιέργο σύστημα

Μέλη σε σύνδεση