Λογαριθμική με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Για κάθε τιμή του

να βρείτε όλες τις τιμές του

, που ικανοποιούν την εξίσωση

$\log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{x} - \log_{5} a$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Για κάθε τιμή του να βρείτε όλες τις τιμές του , που ικανοποιούν την εξίσωση

$\log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{x} - \log_{5} a$ .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Έχουμε τους περιορισμούς : a >0

,

και $\dfrac{(x+1)^2}{x} - a >0$ $\Leftrightarrow$ x^2 + (2-a) x + 1 > 0

.
Είναι τριώνυμο με $\Delta = a(a-4)$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
i) $\Delta < 0$ $\Leftrightarrow$ 0 < a < 4

, οπότε $x \in ( 0 , + \infty )$ .

ii) $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow a\geq 4$ . Στην περίπτωση αυτή το τριώνυμο είναι θετικό $\forall x \in \left ( 0, \dfrac{a-2 - \sqrt{a(a-4)}}{2} \right ]\cup \left [ \dfrac{a-2 + \sqrt{a(a-4)}}{2} ,+\infty \right )$ .

Τώρα η δοθείσα εξίσωση ισοδυνάμως γράφεται : $\log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{ax}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{(x+1)^2}{x}-a = \dfrac{(x+1)^2}{ax}$ , αφού η λογαριθμική είναι 1-1.

Θέτοντας όπου $t= \dfrac{(x+1)^2}{x}$ είναι t>0

οπότε προκύπτει : $t-a = \dfrac{t}{a}$ από όπου για $a \neq 1$ έχουμε $t = \dfrac{a^2}{a-1} = c >0,$ και a>1.

Αντικαθιστώντας έχουμε: $\dfrac{(x+1)^2}{x} = c$ $\Leftrightarrow$ x^2 +(2-c) x +1 = 0

, τριώνυμο .
Πρέπει $\Delta = c^2 -4c =c(c-4)= \dfrac{ a^2 (a-2)^2}{(a-1)^2} \geq 0$ .

Συνεπώς έχουμε λύσεις : $x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{a^2}{a-1} -2\pm \dfrac{a|a-2|}{a-1} }{2}$

από όπου για τις διάφορες τιμές του a>1

προκύπτουν οι : $x_{1}= a-1$ και $x_{2} = \dfrac{1}{a-1}$ .

Όμως για $a\geq 4$ οφείλουμε να έξετάσουμε εάν $x_{1}= a-1 > \dfrac{a-2 + \sqrt{a(a-4)}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $a > \sqrt{a(a-4)}$ $\Leftrightarrow$ 4a>0 ,

Ισχύει.

Επίσης $x_{2} = \dfrac{1}{a-1} < \dfrac{a-2 - \sqrt{a(a-4)}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $2+(a-1)\sqrt{a^2 -4a}< a^2-3a+2$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $(a-1)\sqrt{a^2 -4a}< a^2-3a\Leftrightarrow (a^2-2a+1)(a^2-4a)<a^4-6a^3+9a^2$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ -4a<0 ,

Ισχύει.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Al.Koutsouridis · #3

Καλησπέρα,

Να ευχαριστήσω τον κ.Γλάρο για την ενασχόλησή του με το πρόβλημα.

Πάντως πιστεύω μπορούμε να αποφύγουμε την εξέταση των περιορισμών στην ανίσωση $\dfrac{(x+1)^2}{x}-a > 0$ που γίνεται στην αρχή και στο τέλος. Μπορούμε να προχωρήσουμε στην επίλυση της εξίσωσης

$\dfrac{(x+1)^2}{x}-a = \dfrac{(x+1)^2}{ax}$

που λόγω της θετικότητας του δευτέρου μέλους και τον περιορισμών x>0, a>0

, η όποια λύση που θα προκύψει θα εγγυάται και την θετικότητα του πρώτου μέλους.

Λογαριθμική με παράμετρο

Λογαριθμική με παράμετρο

Re: Λογαριθμική με παράμετρο

Re: Λογαριθμική με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση