Εξίσωση

M.S.Vovos · #1

Να λυθεί η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{x-\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}}$ Φιλικά.

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{x-\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}}$ Φιλικά.

Μάλιστα!!

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος ορίζεται διά κάθε $x \in \mathbb{R}$ και μάλιστα ισούται με -2x

. Αυτό διότι
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{x - \sqrt{x^2+1}} &= -x + \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2+1} - x \\ &= -2x \end{aligned}}$ το δεύτερο μέλος γράφεται ως $\displaystyle{\sqrt{x^3+x^2+x+1} = \sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x^2+1 \right )}}$ και άρα ορίζεται για $x \geq -1$ . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της εξίσωσής μας είναι το $[-1, +\infty)$ . Τότε
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{x - \sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^3+x^2+x+1} &\Leftrightarrow -2x = \sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x^2+1 \right )} \\ &\Rightarrow 4x^2 = \left ( x+1 \right ) \left ( x^2+1 \right ) \\ &\Rightarrow 4x^2 = x^3+x^2+x+1 \\ &\Rightarrow 2\left ( x-1 \right ) - \left ( x-1 \right )^3 = 0\\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x & = &1 \\ x &= &1-\sqrt{2} \\ x &= & 1+\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \end{aligned}}$ εκ των οποίων μόνο η $1-\sqrt{2}$ επαληθεύει τη πρώτη εξίσωση.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση