Μοναδική ρίζα !

Συντονιστής: exdx

maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Μοναδική ρίζα !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Φεβ 12, 2017 9:47 am

'Εστω k ρίζα της εξίσωσης: x^3+6x^2+9x+6=0...(1) . Δείξτε ότι το k είναι και η μόνη ρίζα της (1)
θα ήθελα οι λύσεις, τουλάχιστον αρχικά, να είναι (όσον αφορά την ύλη ) εντός φακέλου


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1767
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μοναδική ρίζα !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Φεβ 12, 2017 12:02 pm

maiksoul έγραψε:'Εστω k ρίζα της εξίσωσης: x^3+6x^2+9x+6=0...(1) . Δείξτε ότι το k είναι και η μόνη ρίζα της (1)
θα ήθελα οι λύσεις, τουλάχιστον αρχικά, να είναι (όσον αφορά την ύλη ) εντός φακέλου

Προφανώς η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες και \displaystyle{k < 0}

\displaystyle{{x^3} + 6{x^2} + 9x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} - 3\left( {x + 2} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x +1)^2}(x + 4) + 2 = 0}

Από την τελευταία \displaystyle{{(x + 1)^2}(x + 4) =  - 2 < 0 \Rightarrow x + 4 < 0 \Rightarrow \boxed{x <  - 4}}

Έστω τώρα ότι εκτός της ρίζας \displaystyle{k} έχει και δεύτερη ρίζα \displaystyle{m}.Θέτοντας στη δοθείσα εξίσωση όπου \displaystyle{x} τα \displaystyle{k,m} και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

\displaystyle{\left( {k - m} \right)\left( {{k^2} + km + {m^2} + 6k + 6m + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {k - m} \right)\left[ {{k^2} + (m + 6)k + {{(m + 3)}^2}} \right] = 0}

Το τριώνυμο \displaystyle{{{k^2} + (m + 6)k + {{(m + 3)}^2}}} έχει διακρίνουσα \displaystyle{\Delta  =  - 3m\left( {m + 4} \right) < 0} συνεπώς είναι πάντα θετικό ,οπότε \displaystyle{k - m = 0 \Rightarrow \boxed{k = m}}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μοναδική ρίζα !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 12, 2017 6:11 pm

Διαφορετικά το δεύτερο μέρος της απόδειξης του Μιχάλη.

Ο Μιχάλης έδειξε ότι αν r ρίζα της εξίσωσης τότε r< -4(αυτό είναι το δύσκολο)

Αν η εξίσωση δεν είχε μοναδική πραγματική ρίζα τότε θα είχε τρεις έστω r_{1},r_{2},r_{3}

Επειδή x^{3}+6x^{2}+9x+6=(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})

παίρνουμε ότι r_{1}+r_{2}+r_{3}=-6

Δηλαδή -6=r_{1}+r_{2}+r_{3}< -4-4-4=-12 που είναι ΑΤΟΠΟ.


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Μοναδική ρίζα !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Τρί Φεβ 14, 2017 9:30 am

Καλημέρα ! Πολύ ωραία , σας ευχαριστώ και τους δύο !


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης