Λογαριθμική

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Λογαριθμική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Ιαν 22, 2017 2:32 pm

Δίνεται συνάρτηση f(x)=(lnx)^2+ln \frac{1}{x}

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

2) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

3) Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης f(cosx)=0 που ανήκουν στο διάστημα [0,2017 \pi]

4) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει f(a)=f(b), a \neq b τότε ab=e



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4174
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 22, 2017 3:02 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση f(x)=(lnx)^2+ln \frac{1}{x}

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

2) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

3) Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης f(cosx)=0 που ανήκουν στο διάστημα [0,2017 \pi]

4) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει f(a)=f(b), a \neq b τότε ab=e
(α) Καταρχάς πρέπει x>0 και \frac{1}{x}>0. Σε κάθε περίπτωση θα είναι x>0. Άρα το πεδίο ορισμού θα είναι το (0, +\infty).

(β) Η f γράφεται ως εξής:
\displaystyle{f(x) = \ln^2 x - \ln x} Για τα σημεία τομής με τον άξονα x'x θα λύσουμε την εξίσωση f(x)=0. Τότε
\displaystyle{\begin{aligned} 
f(x)=0 &\Leftrightarrow \ln^2 x - \ln x =0 \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\ln x}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow} u^2 - u =0\\  
 &\Leftrightarrow u (u-1) =0 \\  
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
u=0 &  \\  
 u=1&  
\end{matrix}\right.  
\end{aligned}} Οπότε αν u=0 τότε x=1 ενώ αν u=1 τότε x=e. Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία με τετμημένες x=1, \; x=e.

Δε τέμνει τον άξονα y'y αφού το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.

(γ) Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι της μορφής x=2\pi n. Όμως θέλουμε οι ρίζες να ανήκουν στο διάστημα [0, 2017 \pi]. Οπότε
\displaystyle{0 \leq x \leq 2017 \pi \Leftrightarrow 0 \leq 2 n \pi \leq 2017 \pi \Rightarrow 0 \leq 2 n \leq 2017 \Rightarrow 0 \leq n \leq 1008} Οπότε αν x_n , \; n =0 , 1, \dots, 1008 είναι οι ρίζες τότε το άθροισμά τους δίδεται από τον τύπο
\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{S} &=\sum_{n=1}^{1008} x_n \\  
 &= \sum_{n=1}^{1008} 2 \pi n\\  
 &= 1017072 \pi  
\end{aligned}} Ελπίζω να μην έκανα κάποιο σφάλμα εδώ.

(δ) Εφόσον f(a)=f(\beta) και a \neq \beta τότε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
f(a) = f(\beta) &\Leftrightarrow \ln^2 a - \ln a = \ln^2 \beta - \ln \beta \\  
 &\Leftrightarrow  \ln^2 a - \ln^2 \beta = \ln a - \ln \beta\\  
 &\Leftrightarrow \cancel{\left ( \ln a - \ln \beta \right )} \left ( \ln a + \ln \beta  \right ) = \cancel{\ln a - \ln \beta} \\ 
 &\Leftrightarrow  \ln a + \ln \beta = 1 \\ 
 &\Leftrightarrow \ln (a \beta) = \ln e \\ 
 &\Leftrightarrow a \beta =e 
\end{aligned}} δηλ. το ζητούμενο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης