mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 16, 2010 11:05 pm**

Ας συγκεντρώσουμε εδώ 20 ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο, από το κεφάλαιο των Προόδων (Αριθμητικής-Γεωμετρικής), να τις λύσουμε αναλυτικά,
να τις γράψουμε σε αρχείο word (Σπύρο θα χρειαστούμε τη βοήθειά σου -γιατί έχεις ταλέντο !!!) και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση.
Ξεκινάω προτείνοντας 5 ασκήσεις (θέλω να πιστεύω ότι δεν έχω κάνει λάθη ...στην αντιγραφή)

Άσκηση-1-
Αν a_1,a_2,...a_n

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω ,να δείξετε ότι

$\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt {a_2}+\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt {a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1 }}}$

...

Άσκηση-2-...

...νέα...

Μεταξύ των διαδοχικών όρων της πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου $1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...,\lambda^{\mu},\ \ \mu\in\mathbb{N^*}$ παρεμβάλλουμε κ αριθμητικούς ενδιάμεσους όρους.
Να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμητικών ενδιάμεσων όρων

Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b

, ώστε αν οι αριθμοί x_1,x_2

είναι οι ρίζες του τριωνύμου
$ax^2 +bx+c \ \ ,$ οι αριθμοί x_1,a,b,c,x_2

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Άσκηση-4-

την συμπληρώσαμε στη σελίδα -3-

Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 16, 2010 11:15 pm**

Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...

ΑΣΚΗΣΗ 6

Να υπολογίσετε το αθροισμα:

$\displaystyle{ 2010^2 - 2009^2 + 2008^2 - 2007^2 + ... + 2^2 - 1^2 }$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 16, 2010 11:39 pm**

... ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...

..

Ασκηση-7-

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $a\in\mathbb{R}$ ώστε η εξίσωση x^4-5(a+1)x^2+4(5a+1)=0

να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 12:29 am**

Φωτεινή έγραψε:... ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...

.. Ασκηση-7-
Να προσδιορίσετε τις τιμές του $a\in\mathbb{R}$ ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου

Έστω ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Θα έχουν τότε τη μορφή, έστω

$\displaystyle{x_{1}=x-3\omega,\,\,x_{2}=x-\omega,\,\,x_{3}=x+\omega,\,\,x_{4}=x+3\omega}$ .

Από τους τύπους του Μπαρμπα - Vieta θα είναι

$\displaystyle{\displaystyle\sum x_{i}=0\Rightarrow4x=0\Rightarrow x=0}$ , άρα

$\displaystyle{x_{1}=-3\omega,\,\,x_{2}=-\omega,\,\,x_{3}=\omega,\,\,x_{4}=3\omega}$ .

Ακόμα $\displaystyle{\sum x_{i}x_{j}=-5(a+1)\Rightarrow-10\omega^{2}=-5(a+1)\Rightarrow\omega^{2}=\frac{a+1}{2}}$ (1).

Επίσης $\displaystyle{\prod x_{i}=4(5a+1)\Rightarrow9\omega^{4}=4(5a+1)\stackrel{(1)}{\Rightarrow}}$

$\displaystyle{4(5a+1)=9\Big(\frac{a+1}{2}\Big)^{2}\Rightarrow\Big(a=7\,\,\,\eta\,\,\,a=-\frac{1}{9}\Big)}$ .

Για τις παραπάνω τιμές του

, οι ρίζες τις δοθείσας είναι πράγματι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, άρα αυτές οι τιμές του

είναι οι ζητούμενες.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 1:56 am**

Φωτεινή έγραψε: ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...

Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με x_2

τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες x_1 ,x_2 ,x_3

να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 6:16 am**

Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 8:06 am**

Πολύ καλές οι ασκήσεις και τα αρχεία Μαργαρίτα. Όσο για τις ασκήσεις κάποιοι μας ταξίδεψαν σε ΑΣΕΠ καταστάσεις και κάποιοι άλλοι σε διαγωνισμούς Πανελληνίων θεμάτων το 80 και μετά!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 8:08 am**

margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.

Μαργαρίτα... σε ευχαριστούμε πολύ !!!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 8:09 am**

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Άσκηση-8-

Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 8:25 am**

ακόμα μία με Αριθμητική ...και μετά φεύγουμε ... για Γεωμετρική

Άσκηση-9-

Αν $\displaystyle{\Sigma_n,\Sigma_{2n},\Sigma_{3n}}$ είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των n,2n,3n

πρώτων όρων μιας Αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι $\displaystyle{:\Sigma_{3n}=3(\Sigma_{2n}-\Sigma_n)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 10:59 am**

Λυση της Ασκησης 1

Εστω ω η διαφορα της προοδου και $\displaystyle{{a_\nu } = {a_1} + \left( {\nu - 1} \right) \cdot \omega }$ ο γενικος ορος της προοδου.Τοτε ο πρωτος ορος του αθροισματος γραφεται :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}} - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} } \right) \cdot \left( {\sqrt {{a_2}} - \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}} - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\left( {{a_2} - {a_1}} \right)}} = \\ = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}} - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{\omega } \\ \end{array}}$

Ομοια εχουμε οτι :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{a_2}} + \sqrt {{a_3}} }} = ... = \frac{{\sqrt {{a_3}} - \sqrt {{a_2}} }}{\omega } \\ ................................................ \\ \frac{1}{{\sqrt {{a_{\nu - 1}}} + \sqrt {{a_\nu }} }} = ... = \frac{{\sqrt {{a_\nu }} - \sqrt {{a_{\nu - 1}}} }}{\omega } \\ \end{array}}$

Αθροιζοντας τελικα παιρνουμε οτι :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}} + \sqrt {{a_3}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {{a_{\nu - 1}}} + \sqrt {{a_\nu }} }} = \\ \\ = \frac{{\sqrt {{a_2}} - \sqrt {{a_1}} }}{\omega } + \frac{{\sqrt {{a_3}} - \sqrt {{a_2}} }}{\omega } + ... + \frac{{\sqrt {{a_\nu }} - \sqrt {{a_{\nu - 1}}} }}{\omega } = \\ \\ = ... = \frac{{\sqrt {{a_\nu }} - \sqrt {{a_1}} }}{\omega } = \frac{{(\sqrt {{a_\nu }} - \sqrt {{a_1}} )\left( {\sqrt {{a_\nu }} + \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\omega \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }} + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \\ \\ = \frac{{{a_\nu } - {a_1}}}{{\omega \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }} + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{{a_1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega - {a_1}}}{{\omega \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }} + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{\nu - 1}}{{\left( {\sqrt {{a_\nu }} + \sqrt {{a_1}} } \right)}} \\ \end{array}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 11:12 am**

Την έσβησα αφού με πρόλαβε ο papel να μην την έχουμε δύο φορές λυμένη

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 10:10 pm**

Μία λύση για την ωραία άσκηση (5)

Φωτεινή έγραψε: Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209

Έστω ω η διαφορά της Αριθμητικής Προόδου με ν όρους.

$\displaystyle \alpha _1 + \alpha _2 + \alpha _3 + \alpha _4 = 34\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _1 + 6\omega = 34$ (1)
$\displaystyle \alpha _\nu + \alpha _{\nu - 1} + \alpha _{\nu - 2} + \alpha _{\nu - 3} = 118\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _\nu - 6\omega = 118$ (2)

Προσθέτουμε τις (1), (2): $\displaystyle 4\left( {\alpha _1 + \alpha _\nu } \right) = 152\;\; \Leftrightarrow \;\;\alpha _1 + \alpha _\nu = 38$ (3)

Είναι: $\displaystyle \Sigma _\nu = 209\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{\alpha _1 + \alpha _\nu }}{2} \cdot \nu = 209$ άρα, λόγω της (3): ν = 11

Οπότε, από τη (2) έχουμε: $\displaystyle 4\left( {\alpha _1 + 10\omega } \right) - 6\omega = 118\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _1 + 34\omega = 118$

Από το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 4\alpha _1 + 6\omega = 34 \\ 4\alpha _1 + 34\omega = 118 \\ \end{array} \right.$ έχουμε ότι: $\displaystyle \omega = 3,\;\;\alpha _1 = 4$

Γιώργος Ρίζος

Στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου ή είναι η ιδέα μου;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 17, 2010 11:05 pm**

margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.

Mαργαρίτα σε ευχαριστούμε πάρα πολύ.
Εξαιρετική δουλειά, που τη μοιράζεσαι μαζί μας!!!
Να είσαι πάντα καλά
Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 20, 2010 5:26 pm**

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Άσκηση 8
Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.

Η λύση
Α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται $\displaystyle{(\alpha + 1)\left( {x^3 - 1} \right) - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {(\alpha + 1)\left( {x^2 + x + 1} \right) - x(\alpha ^2 + 5\alpha - 5)} \right) = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {(\alpha + 1)x^2 - (\alpha ^2 + 4\alpha - 6)x + \left( {\alpha + 1} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow }$ x = 1

ή $\displaystyle{(\alpha + 1)x^2 - (\alpha ^2 + 4\alpha - 6)x + \left( {\alpha + 1} \right) = 0}$
Άρα οι ρίζες της αρχικής είναι $x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3$ όπου $\,x_2 = 1$ και $x_1 ,\,\,x_3$ είναι οι ρίζες της $\displaystyle{(\alpha + 1)x^2 - (\alpha ^2 + 4\alpha - 6)x + \left( {\alpha + 1} \right) = 0}$
. Ετσι $x_1 \cdot \,x_3 = \frac{{\alpha + 1}}{{\alpha + 1}} = 1 = x & & _2^2$
επομένως οι $x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ανεξάρτητα από την τιμή του $\alpha$ .
Β) Αφού οι $x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3$
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, θα είναι $2x_2 = x_1 + \,x_3$
ή $2 = \frac{{\alpha ^2 + 4\alpha - 6}}{{\alpha + 1}}$ από όπου βρίσκουμε ότι $\alpha = 2$ ή $\alpha = - 4$

Γ) Για $\alpha = 2$ η αρχική γίνεται $3x^3 - 9x^2 + 9x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ άρα $x_1 = \,\,x_2 = \,\,x_3 = 1$
Για $\alpha = - 4$ έχουμε $- 3x^3 + 9x^2 - 9x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ άρα $x_1 = \,\,x_2 = \,\,x_3 = 1$

Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 20, 2010 7:39 pm**

chris_gatos έγραψε:Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...

ΑΣΚΗΣΗ 6

Να υπολογίσετε το αθροισμα:

$\displaystyle{ 2010^2 - 2009^2 + 2008^2 - 2007^2 + ... + 2^2 - 1^2 }$

Πολύ καλή Χρήστο.
Το άθροισμα γράφεται:
$\displaystyle{(2^2 + 4^2 + ... + 2010)^2 - (1^2 + 3^2 + ... + 2009^2 ) = (2^2 - 1^2 )+(4^2 - 3^2 ) + ... + (2010^2 - 2009^2 )}$
$\displaystyle{ = 3 + 7 + 11 + 4019 = \frac{{2005}}{2}(2.3 + 2004.4) = 8026015}$

Φιλικά Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 23, 2010 1:18 am**

Άσκηση 10

Δίνεται η ακολουθία $(\alpha _{\nu })$ με όρους 2,3,5,9,17,33,....

ι)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία $(\beta _{\nu })$ με γενικό όρο $\beta _{\nu }=\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu }$ είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το νιοστό της όρο ως συνάρτηση του ν.

ιι)Να υπολογίσετε το γενικό όρο $(\alpha _{\nu })$ ως συνάρτηση του ν.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 23, 2010 10:17 pm**

Ασκηση 9
Αν α1 ο πρώτος όρος της προόδου και ω η διαφορά τότε
$\begin{array}{l} \sum\nolimits_n { = \frac{1}{2}(2a_1 } + (n - 1)w)n \\ \sum\nolimits_{2n} { = \frac{1}{2}} (2a_1 + (2n - 1)w)2n \\ 3(\sum\nolimits_{2n} { - \sum\nolimits_n {) = 3(} } \frac{1}{2}(2a_1 + (2n - 1)w)2n - \frac{1}{2}(2a_1 + (n - 1)w)n) = \\ = \frac{{3n}}{2}\left( {4a_1 - 2a_1 + w(4n - 2 - n + 1)} \right) = \frac{{3n}}{2}\left( {2a_1 + \left( {3n - 1} \right)w} \right) = \sum\nolimits_{3n} . \\ \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 24, 2010 12:17 am**

Κάποιες ξεχάστηκαν. Ας δώσουμε λύσεις και σ' αυτές:

Φωτεινή έγραψε: Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε αν οι αριθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου
$ax^2 +bx+c \ \ ,$ οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Έστω $\displaystyle a \ne 0$ . Είναι: $\displaystyle x_1 + x_2 = a + c = 2b$ (1)
Από τύπους Vieta $\displaystyle x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$ (2), $\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (3)
Από (1), (2): $\displaystyle 2b = - \frac{b}{a}\; \Leftrightarrow \;\;\left( {2a + 1} \right)b = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;b = 0\;\;\eta \;\;a = - \frac{1}{2}$

• Αν b = 0, τότε $\displaystyle x_1 + x_2 = a + c = 0$ άρα $\displaystyle c = - a,$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle ax^2 - a = 0,\;a \ne 0$ , οπότε είναι $\displaystyle x_1 = \pm 1,\;\;x_2 = \mp 1$ .
Αν $\displaystyle x_1 = - 1,\;\;x_2 = 1$ , η πρόοδος είναι: $\displaystyle - 1,\;\;\;a,\;\;\;0,\; - a,\;\;\,1$ , άρα $\displaystyle a = - \frac{1}{2},\;\;c = \frac{1}{2}$ .
Ομοίως, αν $\displaystyle x_1 = 1,\;\;x_2 = - 1$ , η πρόοδος γράφεται: $\displaystyle 1,\;\;a,\;\;0,\;\; - a,\;\; - 1$ άρα $\displaystyle a = \frac{1}{2},\;\;c = - \frac{1}{2}$ .

• Αν $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$ και ω η διαφορά της προόδου, τότε $\displaystyle x_1 = - \frac{1}{2} - \omega ,\;\;x_2 = - \frac{1}{2} + 3\omega ,\;\;c = - \frac{1}{2} + 2\omega$
Η (3) γράφεται: $\displaystyle \left( { - \frac{1}{2} - \omega } \right)\left( { - \frac{1}{2} + 3\omega } \right) = 1 - 4\omega \; \Leftrightarrow \;...\;\omega ^2 - \omega + \frac{1}{4} = 0\; \Leftrightarrow \;\omega = \frac{1}{2}$
Άρα $\displaystyle a = - \frac{1}{2},\;b = 0,\;c = \frac{1}{2}$ , (όπως παραπάνω)

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. (1)Ευχαριστούμε την Μαργαρίτα για την προσφορά των αρχείων με τις ασκήσεις σε Προόδους και Εκθετικές - Λογαριθμικές εξισώσεις.

Υ.Γ. (2) Παρατηρήστε ότι: a = ημ210° ή a = ημ30°, b = συν90° και c = -α.
Άσχετο, θα πείτε, ... αλλά ήθελα να βάλω και λίγη τριγωνομετρία στην άσκηση, ευχαριστώντας σας για τα καλά σας λόγια...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 24, 2010 8:48 am**

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος

Πολυτεχνικός - Γεωπονοδασολογικός - Φυσικομαθηματικός Κύκλος 1976.

Ήμουν ... μικρός τότε. Την κάναμε στο φροντιστήριο το '79 (η ηρωική γενιά με εισαγωγικές από Δημοτικό για Γυμνάσιο, από Γυμνάσιο για Λύκειο, τη διαρροή θεμάτων κ.λπ....).

Γιώργος Ρίζος

mathematica.gr

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου