Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#141

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Δεκ 05, 2016 3:57 pm

dimplak έγραψε: 60.

x^2 - 6x + 9 = 4 \sqrt{x^2 - 6x + 6}

Απάντηση: x=1 ή x=5 ή x = 3 - 2 \sqrt{3} ή x = 3 + 2 \sqrt{3}
Πρέπει {x^2} - 6x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3 - \sqrt 3 \,\,\dot \eta \,\,x \ge 3 + \sqrt 3 αφού {x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 για κάθε x \in R

Αν \sqrt {{x^2} - 6x + 6}  = w \ge 0 η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

{w^2} + 3 = 4w \Leftrightarrow {w^2} - 4w + 3 = 0 \Leftrightarrow w = 3\,\,\dot \eta \,\,w = 1

Με w = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 6 = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\dot \eta \,\,\,x = 5

Με w = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 6 = 9 \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 3 \,\,\dot \eta \,\,\,x = 3 - 2\sqrt 3

Όλες ικανοποιούν την εξίσωση
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Δευ Δεκ 05, 2016 10:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#142

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Δεκ 05, 2016 6:19 pm

dimplak έγραψε: 60.

x^2 - 6x + 9 = 4 \sqrt{x^2 - 6x + 6}

Απάντηση: x=1 ή x=5 ή x = 3 - 2 \sqrt{3} ή x = 3 + 2 \sqrt{3}

Kαλησπέρα Δημήτρη
x^{2}-6x+9=4\sqrt{x^{2}-6x+6},(1), x\leq 3-\sqrt{3},x\geq 3+\sqrt{3}, (1)\Leftrightarrow (x-3)^{2}=4\sqrt{(x-3)^{2}-3},(2)
Θέτουμε,
w=\sqrt{(x-3)^{2}-3}\Leftrightarrow (x-3)^{2}=w^{2}+3
Kαι η εξίσωση
(2)\Rightarrow w^{2}-4w+3=0, w=1\Rightarrow x=1,x=5, w=3\Rightarrow x=3+2\sqrt{3},x=3-2\sqrt{3}


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#143

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Δεκ 06, 2016 8:16 am

61.

x = \sqrt{3-x} \sqrt{4-x} + \sqrt{4-x} \sqrt{5-x} + \sqrt{5-x} \sqrt{3-x}

Απάντηση: x = \frac{671}{240}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#144

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 8:43 am

62.

(x-2)(5x^2 + 10x -34) = 18 \sqrt{5x-1} \sqrt[3]{x-1} - 27x

Απάντηση: x=2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#145

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 8:56 am

63.

x( \sqrt{2x-1} - 3) = \frac{2(2x^2 - 7x - 15)}{x^2 - 6x + 13}

Απάντηση: x=5 ή x = 4 + \sqrt{6}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#146

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 9:01 am

64.

9x^4 - 31x^3 + 34x^2 - 11x + 5 = 5 \sqrt{x^3 + 1}

Απάντηση: x=0 ή x=2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#147

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 9:16 am

65.

2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{x^2 + x + 1}  = \frac{-x^2 + 3x + 7}{x^2 + 6x + 6}

Απάντηση: x = -1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#148

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 9:22 am

66.

\sqrt{x+1} - 2 \sqrt{4-x} = \frac{5(x-3)}{\sqrt{2x^2 + 18}}

Απάντηση: x= -1 ή x = \frac{3}{2} ή x = 3


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#149

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Δεκ 07, 2016 10:00 am

67.

\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} +  \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x}

Απάντηση: x=2


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#150

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Δεκ 07, 2016 12:43 pm

dimplak έγραψε: 67.

\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} +  \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x}

Απάντηση: x=2

Καλημέρα Δημήτρη
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
x(\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}})+\sqrt{3}(\sqrt{x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}})=3\sqrt{3}x,x\geq \sqrt{3},
Θέτουμε
a=\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}},b=\sqrt{x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}\Rightarrow ab=2\sqrt{3},x=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{4}
Συνεπώς είναι
a^{4}+36=6\sqrt{3}\sqrt{a^{4}+12},a>0,
Με τετραγωνισμό προκύπτει a=\sqrt{6},\sqrt{6}=\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}}\Rightarrow x=2



ΘΡΥΛικά
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#151

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Δεκ 07, 2016 6:03 pm

dimplak έγραψε: 51.

\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}

Απάντηση: x=1
Kαλησπέρα Δημήτρη

Ασκηση 51.
Θέτουμε \sqrt{x}=w,x\geq 0,w\geq 0,
και η εξίσωση διαμορφώνεται \sqrt{-w^{2}+3w+2}+\sqrt{-3w^{2}-2w+2}=\sqrt{-5w^{2}+4w+10},(1), 0<w\leq \dfrac{-1+\sqrt{19}}{3},(2),

Θέτουμε
a=-w^{2}=3w+2,b=-3w^{2}-2w+6,c=-5w^{2}+4w+10,
Αρα c-b=2a,(4), \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c},(3), a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0, (5), (3),(4)\Rightarrow 2\sqrt{ab}=a\Leftrightarrow a=0,a=4b,  
 
1) a=0\Rightarrow c=b,w^{2}-3w-2=0\Rightarrow w=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},w=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}
Οι τιμές αυτές απορρίπτονται λόγω των περιορισμών

2)a\neq 0,a=4b\Rightarrow c=9b\Rightarrow w^{2}+w-2=0\Rightarrow w=1=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=1, w=-2<0



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#152

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Δεκ 07, 2016 7:52 pm

dimplak έγραψε: 66.

\sqrt{x+1} - 2 \sqrt{4-x} = \frac{5(x-3)}{\sqrt{2x^2 + 18}}

Απάντηση: x= -1 ή x = \frac{3}{2} ή x = 3
Kαλησπέρα Δημήτρη τρίτωσε το κακό....εννοώ κάποιο σκορ ...ξέρεις εσύ και προφανώς σε αστειεύομαι .....

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

\dfrac{5(x-3)}{\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x}}=\dfrac{5(x-3)}{\sqrt{2x^{2}+18}}\Leftrightarrow x=3,\sqrt{2x^{2}+18}=\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x},(1),-1\leq x\leq 4, (1)\Leftrightarrow 2x^{2}+3x+1=4\sqrt{x+1}\sqrt{4-x}\Leftrightarrow (x+1)(2x+1)=2\sqrt{(x+1)}\sqrt{4-x}\Leftrightarrow (x+1)^{2}(x+\dfrac{1}{2})^{2}=4(x+1)(4-x)\Leftrightarrow x=-1,(x+1)(x+\dfrac{1}{2})^{2}=4(4-x)\Leftrightarrow 4x^{3}+8x^{2}+21x-63=0\Leftrightarrow (x-\dfrac{3}{2})(4x^{2}+14x+42)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#153

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Δεκ 07, 2016 9:55 pm

dimplak έγραψε: 62.

(x-2)(5x^2 + 10x -34) = 18 \sqrt{5x-1} \sqrt[3]{x-1} - 27x

Απάντηση: x=2
Κάνουμε τις πράξεις και έχουμε:

5x^3+68=18\sqrt{5x-1}\sqrt[3]{x-1}+27x

Καταρχάς θεωρούμε ότι \sqrt[3]{x-1}\geq 0 άρα x\geq 1

Από AM-GM προκύπτει ότι 5x-1+9=5x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)} (1) με ισότητα όταν 5x-1=9, δηλαδή όταν x=2

και ότι x-1+1+1=x+1\geq 3\sqrt[3]{(x-1)\cdot 1\cdot 1} (2) με ισότητα όταν x-1=1, δηλαδή όταν x=2

Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και προκύπτει ότι:

(5x+8)(x+1)\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}\Leftrightarrow

5x^2+13x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}\Leftrightarrow

5x^2+40x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x (3)

Ακόμη θα αποδείξουμε ότι: 5x^3+68\geq 5x^2+40x+8\Leftrightarrow x^3+12\geq x^2+8x

Θέτουμε x=y+1, όπου y θετικός πραγματικός. Έχουμε:

(y+1)^3+12\geq (y+1)^2+8(y+1)\Leftrightarrow y^3+2y^2+4\geq 7y

Όμως πάλι από AM-GM προκύπτει ότι y^3+1+1\geq 3y (4) με ισότητα όταν y=1

και ότι 2y^2+2\geq 4y (5) με ισότητα όταν y=1.

Προσθέτοντας τις σχέσεις (4) και (5) κατά μέλη προκύπτει ότι y^3+2y^2+4\geq 7y με ισότητα όταν y=1.

Άρα 5x^3+68\geq 5x^2+40x+8 με ισότητα όταν x=2 (6)

Από τις σχέσεις (3) και (6) προκύπτει ότι

5x^3+68\geq 5x^2+40x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x\Leftrightarrow

5x^3+68\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x=18\sqrt{5x-1}\sqrt[3]{x-1}+27x, με ισότητα όταν x=2.

Άρα η λύση στην αρχική εξίσωση είναι \boxed{x=2}


Houston, we have a problem!
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#154

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 08, 2016 12:02 am

dimplak έγραψε: 65.

2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{x^2 + x + 1}  = \frac{-x^2 + 3x + 7}{x^2 + 6x + 6}

Απάντηση: x = -1
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

\dfrac{-x^{2}+3x+7}{2\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+x+1}}=\dfrac{-x^{2}+3x+7}{x^{2}+6x+6},(1),x\geq -2 (1)\Leftrightarrow -x^{2}+3x+7=0,(2), x^{2}+6x+6=2\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+x+1},(3)
Οι ρίζες της εξίσωσης (2) μηδενίζουν το δεύτερο μέλος στην αρχική εξίσωση ,με πρώτο μέλος θετικό άρα δεν είναι δεκτές .

(3)\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}\sqrt{x^{2}+x+1}}=3-x\Leftrightarrow 16x^{3}+47x^{2}+54x+23=0\Leftrightarrow x=-1,16x^{2}+31x+23=0,\Delta <0



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#155

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Δεκ 08, 2016 8:55 am

68.

2 \sqrt{10 - x^2} + 2x ( 1 + \sqrt{10 - x^2}) = 14

Απάντηση: x = 1 ή x = 3


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#156

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 08, 2016 10:42 am

dimplak έγραψε: 68.

2 \sqrt{10 - x^2} + 2x ( 1 + \sqrt{10 - x^2}) = 14

Απάντηση: x = 1 ή x = 3
Kαλημέρα Δημήτρη
Η εξίσωση γράφεται
\sqrt{10-x^{2}}+x(1+\sqrt{10-x^{2}})=7\Leftrightarrow \sqrt{10-x^{2}}=\dfrac{7-x}{x+1}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-34x+39=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)(3x^{2}+12x+31)=0\Leftrightarrow x=1,x=3,3x^{2}+12x+31>0, -1<x<7



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#157

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Δεκ 13, 2016 8:52 am

69.

5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}

Απάντηση: x=0 ή x=2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#158

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Δεκ 13, 2016 9:10 am

70.

\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 + 1}

Απάντηση: x = - 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#159

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Δεκ 13, 2016 9:30 am

71.

\frac{ \sqrt{x + 1 - x \sqrt{2}} + \sqrt{2x - 1 + x \sqrt{2}}}{\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{x+1}}} = 2

Απάντηση: x = 2


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#160

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Δεκ 13, 2016 7:24 pm

dimplak έγραψε: 69.

5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}

Απάντηση: x=0 ή x=2
Πρέπει x^3+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1.

Επειδή στο τριώνυμο του αριστερού μέλους είναι D=-11, ισχύει ότι 5x^2 - 7x + 3 >0

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε:

25x^4+49x^2+9-70x^3-42x+30x^2=9x^3+9 \Leftrightarrow \\ 
25x^4-79x^3+79x^2-42x=0 \Leftrightarrow \\  
x(25x^3-79x^2+79x-42)=0 \Leftrightarrow \\  
x(25x^3-2 \cdot 25x^2 - 29x^2+2 \cdot 29x + 21x-2 \cdot 21)=0 \Leftrightarrow \\  
x(x-2)(25x^2-29x+21)=0

Η διακρίνουσα στο τριώνυμο 25x^2-29x+21 είναι αρνητική. Άρα οι μόνες λύσεις είναι x=0 ή x=2.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης