mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 29, 2016 9:47 pm**

50.

$\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25$

Απάντηση: x=2

ή $x= \frac{5 \pm \sqrt{3}}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 29, 2016 11:52 pm**

51.

$\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}$

Απάντηση: x=1

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 30, 2016 12:00 pm**

52.

$\frac{1}{ \sqrt{x + \frac{3}{x}}} = \frac{2(x+1)}{x^2 + 7}$

Απάντηση: x=1

ή

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 30, 2016 12:28 pm**

53.

$x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1$

Απάντηση: x=2

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 30, 2016 12:37 pm**

dimplak έγραψε: 52.

$\frac{1}{ \sqrt{x + \frac{3}{x}}} = \frac{2(x+1)}{x^2 + 7}$

Απάντηση: ή .

Για $\displaystyle{x > 0}$ , η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{{2(x + 1)}}{{{x^2} + 7}} \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 3}} = \frac{{4{{(x + 1)}^2}}}{{{{({x^2} + 7)}^2}}} \Leftrightarrow {x^5} - 4{x^4} + 6{x^3} - 16{x^2} + 25x - 12 = 0}$ ,

όπου με τη βοήθεια του Horner γράφεται: $\displaystyle{{(x - 1)^2}(x - 3)({x^2} + x + 4) = 0}$ και έχει δεκτές πραγματικές

ρίζες την $\boxed{x_1=3}$ και μία διπλή ρίζα $\boxed{x_2=x_3=1}$ που επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 30, 2016 8:02 pm**

dimplak έγραψε: 53.

$x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1$

Απάντηση:

Έχουμε:

$x^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=4x-1\Rightarrow$ $x^2-4x+4+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3\Rightarrow (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3$

Όμως $(x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}$ (1) με ισότητα όταν x=2

.

Ακόμα θα αποδείξουμε πως: $\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 \Leftrightarrow$ $(\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x})^2\geq 9 \Leftrightarrow$ $9+2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 9\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 0$ (2), που ισχύει με ισότητα όταν $x=-\dfrac{5}{2}$ ή x=2

.

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $(x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3$ με ισότητα μόνο όταν x=2

(επειδή είναι κοινό και στις δύο ανισότητες). Άρα η μοναδική λύση είναι x=2

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 30, 2016 9:48 pm**

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
dimplak έγραψε: 53.

$x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1$

Απάντηση:
Έχουμε

$x^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=4x-1\Rightarrow$ $x^2-4x+4+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3\Rightarrow (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3$

Όμως $(x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}$ (1) με ισότητα όταν .

Ακόμα θα αποδείξουμε πως: $\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 \Leftrightarrow$ $(\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x})^2\geq 9 \Leftrightarrow$ $9+2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 9\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 0$ (2), που ισχύει με ισότητα όταν $x=-\dfrac{5}{2}$ ή .

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $(x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3$ με ισότητα μόνο όταν (επειδή είναι κοινό και στις δύο ανισότητες). Άρα η μοναδική λύση είναι .

Να απλοποιήσω λίγο την απόδειξη του Διονύση.
Για $a,b\geq 0$ ισχύει ότι $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$
Χωρίς να ενδιαφερόμαστε για τι γίνεται μέσα στα ριζικά αν

ικανοποιεί την εξίσωση τότε
$4x-1=x^{2}+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq x^{2}+\sqrt{9}=x^{2}+3$
Αρα $(x-2)^{2}\leq 0$ .Δηλαδή x=2

Επαληθεύει την εξίσωση άρα αυτή είναι η μόνη ρίζα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 01, 2016 8:37 am**

54.

$\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} = 4$

Απάντηση: $\frac{64}{15}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 01, 2016 9:01 am**

dimplak έγραψε: 54.

$\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} = 4$

Απάντηση: $\frac{64}{15}$

Καλημέρα Δημήτρη και καλό μήνα

Η εξίσωση με τετραγωνισμό και τους περιορισμούς γράφεται

$2x+2\sqrt{x^{2}-x}=16\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x}=8-x\Leftrightarrow 15x=64\Leftrightarrow x=\dfrac{64}{15}$
Eπαληθευει την αρχική εξίσωση

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 01, 2016 9:07 am**

55.

$\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}} = x$

Απάντηση: $\frac{\sqrt{41} - 3}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 01, 2016 11:31 pm**

dimplak έγραψε: 47.

$x^2 - \sqrt{1 + x^3} = x^3 - x - 5...(1)$

Απάντηση:

Η εξίσωση ορίζεται όταν $x\geq-1$ και γράφεται

$x^3-x^2-x-2+\sqrt{x^3+1}-3=0$

όπως και

$(x-2)(x^2+x+1)+\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{\sqrt{x^3+1}+3}=0$

Από την τελευταία προκύπτει αμέσως πως μοναδική λύση είναι η:
x=2

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 02, 2016 9:11 am**

56.

$2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)$

Απάντηση: x=2

ή $x = - \frac{5}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 02, 2016 9:34 am**

dimplak έγραψε: 56.

$2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)$

Απάντηση: ή $x = \frac{5}{2}$

H $x=\frac{5}{2}$ δεν μπορεί να είναι ρίζα γιατί $4-2\frac{5}{2}=-1< 0$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 02, 2016 9:37 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
dimplak έγραψε: 56.

$2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)$

Απάντηση: ή $x = \frac{5}{2}$
H $x=\frac{5}{2}$ δεν μπορεί να είναι ρίζα γιατί $4-2\frac{5}{2}=-1< 0$

Συγγνώμη! Τυπογραφικό λάθος! $x = - \frac{5}{2}$ ! Το διόρθωσα!

Ευχαριστώ για την επισήμανση!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 02, 2016 11:48 am**

Λύση 56.
Η εξίσωση γράφεται.

$2(\sqrt{2x+5}-\sqrt{4-2x})=-2x^{3}+3x^{2}+12x-20$

Βρίσκοντας τις ρίζες του δεξιού μέλους γράφεται

$\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}-3=-(x-2)^{2}(x+\frac{5}{2})$ (1)

Για $a,b\geq 0$ έχουμε $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$
με ισότητα αν και μόνο αν $a=0\vee b=0$

Συμπεραίνουμε ότι $\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3$

Για να ορίζονται τα ριζικά πρέπει $-\frac{5}{2}\leq x\leq 2$

Για αυτά τα

το δεξιό μέλος της (1) είναι μη θετικό.

Επίσης το αριστερό μέλος της (1) είναι μη αρνητικό.
Αρα ρίζες $2,-\frac{5}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 03, 2016 12:25 am**

dimplak έγραψε: 56.

$2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)$

Απάντηση: ή $x = - \frac{5}{2}$

Μια περίπου ίδια με πριν λύση.
Η εξίσωση ορίζεται όταν $-\frac{5}{2}\leq x\leq 2$ και είναι τότε:
$0\leq 2x+5\leq 9..\wedge ..0\leq 4-2x\leq 9$ οπότε $0\leq \sqrt{2x+5}\leq 3\leq3+\sqrt{4-2x}\Rightarrow 1-\frac{\sqrt{2x+5}}{3+\sqrt{4-2x}}\geq 0..(\bigstar \bigstar )$
H εξίσωση τώρα γράφεται όπως πριν:
$2x^3-3x^2-12x+14+2(\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}-3)=0\Leftrightarrow$
$(2x+5)(2-x)^2+2(\sqrt{2x+5}-\frac{2x+5}{3+\sqrt{4-2x}})=0\Leftrightarrow$
$(2x+5)(2-x)^2+\sqrt{2x+5}(1-\frac{\sqrt{2x+5}}{3+\sqrt{4-2x}})=0(\blacksquare )$
Η τελευταία έχει ρίζες μόνο όταν και οι δύο (μη αρνητικοί)προσθετέοι είναι μηδέν.
Ο πρώτος προσθετέος