Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 29, 2016 9:47 pm

50.

\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25

Απάντηση: x=2 ή x= \frac{5 \pm \sqrt{3}}{4}



Λέξεις Κλειδιά:
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 29, 2016 11:52 pm

51.

\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}

Απάντηση: x=1
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Πέμ Δεκ 01, 2016 8:29 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Νοέμ 30, 2016 12:00 pm

52.

\frac{1}{ \sqrt{x + \frac{3}{x}}} = \frac{2(x+1)}{x^2 + 7}

Απάντηση: x=1 ή x=3.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Νοέμ 30, 2016 12:28 pm

53.

x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1

Απάντηση: x=2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9458
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 30, 2016 12:37 pm

dimplak έγραψε: 52.

\frac{1}{ \sqrt{x + \frac{3}{x}}} = \frac{2(x+1)}{x^2 + 7}

Απάντηση: x=1 ή x=3.
Για \displaystyle{x > 0}, η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{{2(x + 1)}}{{{x^2} + 7}} \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 3}} = \frac{{4{{(x + 1)}^2}}}{{{{({x^2} + 7)}^2}}} \Leftrightarrow {x^5} - 4{x^4} + 6{x^3} - 16{x^2} + 25x - 12 = 0},

όπου με τη βοήθεια του Horner γράφεται: \displaystyle{{(x - 1)^2}(x - 3)({x^2} + x + 4) = 0} και έχει δεκτές πραγματικές

ρίζες την \boxed{x_1=3} και μία διπλή ρίζα \boxed{x_2=x_3=1} που επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Νοέμ 30, 2016 8:02 pm

dimplak έγραψε: 53.

x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1

Απάντηση: x=2
Έχουμε:

x^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=4x-1\Rightarrow x^2-4x+4+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3\Rightarrow (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3

Όμως (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x} (1) με ισότητα όταν x=2.

Ακόμα θα αποδείξουμε πως: \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 \Leftrightarrow (\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x})^2\geq 9 \Leftrightarrow 9+2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 9\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 0 (2), που ισχύει με ισότητα όταν x=-\dfrac{5}{2} ή x=2.

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 με ισότητα μόνο όταν x=2 (επειδή είναι κοινό και στις δύο ανισότητες). Άρα η μοναδική λύση είναι x=2.


Houston, we have a problem!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3138
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 30, 2016 9:48 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
dimplak έγραψε: 53.

x^2 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x} = 4x - 1

Απάντηση: x=2
Έχουμε

x^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=4x-1\Rightarrow x^2-4x+4+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3\Rightarrow (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}=3

Όμως (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x} (1) με ισότητα όταν x=2.

Ακόμα θα αποδείξουμε πως: \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 \Leftrightarrow (\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x})^2\geq 9 \Leftrightarrow 9+2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 9\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x+5)(4-2x)}\geq 0 (2), που ισχύει με ισότητα όταν x=-\dfrac{5}{2} ή x=2.

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι (x-2)^2+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3 με ισότητα μόνο όταν x=2 (επειδή είναι κοινό και στις δύο ανισότητες). Άρα η μοναδική λύση είναι x=2.
Να απλοποιήσω λίγο την απόδειξη του Διονύση.
Για a,b\geq 0 ισχύει ότι \sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}
Χωρίς να ενδιαφερόμαστε για τι γίνεται μέσα στα ριζικά αν x ικανοποιεί την εξίσωση τότε
4x-1=x^{2}+\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq x^{2}+\sqrt{9}=x^{2}+3
Αρα (x-2)^{2}\leq 0.Δηλαδή x=2
Επαληθεύει την εξίσωση άρα αυτή είναι η μόνη ρίζα.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#128

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Δεκ 01, 2016 8:37 am

54.

\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} = 4

Απάντηση: \frac{64}{15}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#129

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 01, 2016 9:01 am

dimplak έγραψε: 54.

\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} = 4

Απάντηση: \frac{64}{15}
Καλημέρα Δημήτρη και καλό μήνα

Η εξίσωση με τετραγωνισμό και τους περιορισμούς γράφεται

2x+2\sqrt{x^{2}-x}=16\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x}=8-x\Leftrightarrow 15x=64\Leftrightarrow x=\dfrac{64}{15}
Eπαληθευει την αρχική εξίσωση



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#130

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Δεκ 01, 2016 9:07 am

55.

\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}} = x

Απάντηση: \frac{\sqrt{41} - 3}{2}


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#131

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Πέμ Δεκ 01, 2016 11:31 pm

dimplak έγραψε: 47.

x^2 - \sqrt{1 + x^3} = x^3 - x - 5...(1)

Απάντηση: x=2
Η εξίσωση ορίζεται ότανx\geq-1 και γράφεται

x^3-x^2-x-2+\sqrt{x^3+1}-3=0

όπως και

(x-2)(x^2+x+1)+\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{\sqrt{x^3+1}+3}=0

Από την τελευταία προκύπτει αμέσως πως μοναδική λύση είναι η:
x=2


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#132

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Δεκ 02, 2016 9:11 am

56.

2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)

Απάντηση: x=2 ή x = - \frac{5}{2}
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Παρ Δεκ 02, 2016 9:37 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3138
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#133

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 02, 2016 9:34 am

dimplak έγραψε: 56.

2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)

Απάντηση: x=2 ή x = \frac{5}{2}
H x=\frac{5}{2} δεν μπορεί να είναι ρίζα γιατί 4-2\frac{5}{2}=-1< 0


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#134

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Δεκ 02, 2016 9:37 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
dimplak έγραψε: 56.

2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)

Απάντηση: x=2 ή x = \frac{5}{2}
H x=\frac{5}{2} δεν μπορεί να είναι ρίζα γιατί 4-2\frac{5}{2}=-1< 0
Συγγνώμη! Τυπογραφικό λάθος! x = - \frac{5}{2} ! Το διόρθωσα!

Ευχαριστώ για την επισήμανση!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3138
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#135

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 02, 2016 11:48 am

Λύση 56.
Η εξίσωση γράφεται.

2(\sqrt{2x+5}-\sqrt{4-2x})=-2x^{3}+3x^{2}+12x-20

Βρίσκοντας τις ρίζες του δεξιού μέλους γράφεται

\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}-3=-(x-2)^{2}(x+\frac{5}{2})(1)

Για a,b\geq 0 έχουμε \sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}
με ισότητα αν και μόνο αν a=0\vee b=0

Συμπεραίνουμε ότι \sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}\geq 3

Για να ορίζονται τα ριζικά πρέπει -\frac{5}{2}\leq x\leq 2

Για αυτά τα x το δεξιό μέλος της (1) είναι μη θετικό.

Επίσης το αριστερό μέλος της (1) είναι μη αρνητικό.
Αρα ρίζες 2,-\frac{5}{2}


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#136

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Σάβ Δεκ 03, 2016 12:25 am

dimplak έγραψε: 56.

2(x^3 + 7 + \sqrt{2x+5} + \sqrt{4 - 2x}) = 3x(x+4)

Απάντηση: x=2 ή x = - \frac{5}{2}
Μια περίπου ίδια με πριν λύση.
Η εξίσωση ορίζεται όταν -\frac{5}{2}\leq x\leq 2 και είναι τότε:
0\leq 2x+5\leq 9..\wedge ..0\leq 4-2x\leq 9 οπότε 0\leq \sqrt{2x+5}\leq 3\leq3+\sqrt{4-2x}\Rightarrow 1-\frac{\sqrt{2x+5}}{3+\sqrt{4-2x}}\geq 0..(\bigstar \bigstar )
H εξίσωση τώρα γράφεται όπως πριν:
2x^3-3x^2-12x+14+2(\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-2x}-3)=0\Leftrightarrow
(2x+5)(2-x)^2+2(\sqrt{2x+5}-\frac{2x+5}{3+\sqrt{4-2x}})=0\Leftrightarrow
(2x+5)(2-x)^2+\sqrt{2x+5}(1-\frac{\sqrt{2x+5}}{3+\sqrt{4-2x}})=0(\blacksquare )
Η τελευταία έχει ρίζες μόνο όταν και οι δύο (μη αρνητικοί)προσθετέοι είναι μηδέν.
Ο πρώτος προσθετέος (2x+5)(2-x)^2έχει ρίζες τους 2,-\frac{5}{2} οι οποίοι είναι ρίζες και του δεύτερου ,άρα και της αρχικής εξίσωσης.


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#137

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Κυρ Δεκ 04, 2016 11:27 am

57.

\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}

Απάντηση: x=8 ή x = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#138

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Κυρ Δεκ 04, 2016 11:40 am

58.

2x^3 - x^2 + 4x - 1 = x^2 \sqrt{3x^2 + 2x} + \sqrt{15x^2 - 2x}

Απάντηση: x = 3 + 2 \sqrt{2}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#139

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 04, 2016 12:41 pm

59.

\sqrt{3x^2-2}+\sqrt{-x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-4x+11}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#140

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Δεκ 05, 2016 10:44 am

60.

x^2 - 6x + 9 = 4 \sqrt{x^2 - 6x + 6}

Απάντηση: x=1 ή x=5 ή x = 3 - 2 \sqrt{3} ή x = 3 + 2 \sqrt{3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης