Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#101

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Νοέμ 15, 2016 3:27 pm

KARKAR έγραψε:36.

\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2
Καλησπέρα!

Από Cauchy-Schwarz έχουμε 2(x^3+x^2-1-x^3+x^2+1) \geq (\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1})^2=(x^4-x^2+2)^2 \Leftrightarrow

(x^4-x^2+2)^2 \leq 4x^2 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow (x^2+2x+2)(x-1)^2 \leq 0, και αφού x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0 για κάθε x \in \mathbb{R}

, πρέπει (x-1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x=1, που επαληθεύει την αρχική.

Άρα, \boxed{x=1}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#102

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 15, 2016 5:04 pm

37.

x^3 - 8x - 1 = 2 \sqrt{10 - x^2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#103

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Νοέμ 16, 2016 12:39 pm

38.

3 \sqrt[3]{8 - 81x} + 3x^3 = 6x^2 - 4x + 6


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1838
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#104

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Νοέμ 16, 2016 6:35 pm

dimplak έγραψε: 37.

x^3 - 8x - 1 = 2 \sqrt{10 - x^2}
Διέγραψα τη δημοσίευση λόγω λάθους
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Πέμ Νοέμ 17, 2016 12:56 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6083
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#105

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2016 6:45 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6083
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#106

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2016 6:56 pm

40.

\displaystyle{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3x-1}=\sqrt[3]{x+1}.}


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#107

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 16, 2016 8:36 pm

socrates έγραψε: 40.

\displaystyle{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3x-1}=\sqrt[3]{x+1}.}
Μιλάμε για x\geq 1 . Το x=1 , είναι προφανώς λύση .

Για x>1 , το x-1 , είναι θετικό και το 3x-1 είναι θετικό

και μεγαλύτερο του x+1 , όμοια και οι κυβικές τους ρίζες .

Άρα δεν υπάρχει άλλη λύση .


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#108

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Νοέμ 16, 2016 10:15 pm

41.

\sqrt[3]{5x+22} - \sqrt[3]{5x-22} = \sqrt[3]{8}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#109

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Νοέμ 16, 2016 11:14 pm

dimplak έγραψε: 41.

\sqrt[3]{5x+22} - \sqrt[3]{5x-22} = \sqrt[3]{8}
Θέτουμε 5x+22=a^3 \, (1), \,\, 5x-22=b^3 \, (2), \,\, a,b>0 και έχουμε ότι a-b=2, a^3-b^3=44.

Έχουμε a^3-b^3=44 \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=44 \Leftrightarrow a^2+ab+b^2=22 \Leftrightarrow (a-b)^2+3ab=22 \Leftrightarrow ab=6,

και άρα από την a-b=2, (a,b)=(\sqrt{7}+1,\sqrt{7}-1), και εύκολα βρίσκουμε το x (από την (1) ή την (2))


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#110

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Νοέμ 16, 2016 11:29 pm

42.

x^3 + 1 = 2 \sqrt[3]{2x-1}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#111

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 17, 2016 9:33 am

dimplak έγραψε: 28.

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2
Μία λύση που σκέφτηκα με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης!

Η εξίσωση γίνεται:

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 = x^2 - 2x + 3 \Leftrightarrow

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 = (x - 1)^2 + 2

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = \sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 και g(x) = (x-1)^2 + 2 και τότε αρκεί να

δείξουμε ότι η f έχει μοναδικό μέγιστο το 2 για x=1 και η g έχει μοναδικό ελάχιστο το 2

για x=1. Για τη g είναι απλό. Για την f έχουμε ότι x \in [ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} , \frac{\sqrt{5} + 1}{2}] άρα x > 0 και:

f(x) \le 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 \le 2 \Leftrightarrow

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} \le x + 1.

Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε πράξεις οπότε προκύπτει ότι: 2 \sqrt{x^2 + x - 1} \sqrt{x - x^2 + 1} \le x^2 + 1.

Υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο και με πράξεις προκύπτει τελικά: (x^2 - 1)^2 \ge 0 .


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#112

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 17, 2016 9:57 pm

43.

2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#113

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Σάβ Νοέμ 19, 2016 4:21 pm

44.

x^5 - 2x + 1 = \sqrt[5]{\frac{1}{x} - 1}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9458
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#114

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 20, 2016 1:18 am

45.

\displaystyle{5\sqrt {{x^2} + 1}  + 8\sqrt {1 - {x^2}}  = 5\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right)}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#115

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Νοέμ 21, 2016 10:10 am

dimplak έγραψε: 44.

x^5 - 2x + 1 = \sqrt[5]{\frac{1}{x} - 1}
Kαλημέρα
Είναι 0< x\leq 1 και x=1 μια λύση της εξίσωσης

Θεωρώ τη συνάρτηση

f(x)=x^{5}-2x+1,f(x)>0,0<x<1, f(x)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1)=(x-1)\Sigma (x), \Sigma (x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1<0,\Sigma '(x)>0,

Υπάρχει \rho \epsilon \left ( 0,1 \right ),\Sigma (\rho )=0, x\epsilon (0,\rho ),\Sigma (x)<0

Οπότε μοναδική λύση η x=1



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#116

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Νοέμ 21, 2016 11:32 pm

46.

1 + \frac{1}{x} + 5x = 4 \sqrt{x^2 + x + 2}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#117

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Νοέμ 23, 2016 11:30 am

dimplak έγραψε: 46.

1 + \frac{1}{x} + 5x = 4 \sqrt{x^2 + x + 2}
Καλημέρα Δημήτρη

Θέτω x+1+\dfrac{1}{x}=w,x>0,w>0 και η δοθείσα εξίσωση γράφεται
w+4x=4\sqrt{xw+1}\Leftrightarrow (w-4x)^{2}=16\Leftrightarrow w-4x=4,(1), w-4x=-4,(2) (1)\Leftrightarrow 3x^{2}-5x-1=0,x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{6},x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}, (2)\Leftrightarrow 3x^{2}-5x-1=0,x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{6},x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}<0




Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#118

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 24, 2016 11:43 pm

47.

x^2 - \sqrt{1 + x^3} = x^3 - x - 5

Απάντηση: x=2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#119

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 29, 2016 9:56 am

48.

\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5} = 2x^2 - 5x

Απάντηση: 3


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#120

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 29, 2016 9:36 pm

49.

4x^2 - 4x - 10 = \sqrt{8x^2 - 6x - 10}

Απάντηση: x= \frac{5}{2} ή x = \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{4}
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Πέμ Δεκ 01, 2016 8:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης