Τριγωνομετρική ανισότητα

Συντονιστής: exdx

hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Τριγωνομετρική ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μάιος 07, 2016 8:34 pm

Με αφορμή την άσκηση του Θάνου στην διεύθυνση http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 30#p259859

Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{4} + \sin (1) - \cos \left( {\frac{1}{2}} \right) > 0}


Γιώργος Ροδόπουλος
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Μάιος 07, 2016 10:19 pm

\dfrac{1}{2}>\dfrac{\pi}{8} οπότε \cos \left (\dfrac{1}{2}\right)<\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

1>\dfrac{\pi}{4} οπότε \sin (1)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι \dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} ή

\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}>\sqrt{2+\sqrt{2}} ή

\dfrac{1}{4}+2+\sqrt{2}>2+\sqrt{2} που ισχύει.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μάιος 07, 2016 10:26 pm

Παύλο :coolspeak:


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6274
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μάιος 08, 2016 12:01 am

Μια πιο μπελαλίδικη προσέγγιση:

Και τα δύο μέλη είναι φανερά θετικά, οπότε αρκεί (τετραγωνισμός)

\displaystyle{\frac{1}{16}+\sin ^21+\frac{1}{2}\sin 1>\frac{1+\cos 1}{2}.}

Αυτή γράφεται

\displaystyle{\left(2\sin ^21-\frac{7}{8}\right)+(\sin 1-\cos 1)>0.}

Αυτή ισχύει γιατί

\displaystyle{\bullet} \displaystyle{1>\frac{\pi}{4}\implies \tan 1>1\implies \sin 1>\cos 1}

και

\displaystyle{\bullet} \displaystyle{1>\frac{\pi}{4}\implies \sin 1>\frac{1}{\sqrt{2}}\implies 2\sin ^21>\frac{7}{8}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης