Άρρητο σύστημα (4)

Συντονιστής: exdx

hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Άρρητο σύστημα (4)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Αύγ 07, 2014 10:26 pm

Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\sqrt {5x^2  + 2xy + 2y^2 }  + \sqrt {2x^2  + 2xy + 5y^2 }  = 3(x + y)} \hfill  \\\\ 
   {\sqrt {4x + 1}  + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1} \hfill  \\ 
\end{array}} \right. 
}

ΔΙΟΡΘΩΣΗ

Στην κυβική ρίζα είναι \displaystyle{15y} αντί για \displaystyle{16y} που είχε γραφτεί από παραδρομή. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6297
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Άρρητο σύστημα (4)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Αύγ 08, 2014 12:35 am

hsiodos έγραψε:Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\sqrt {5x^2  + 2xy + 2y^2 }  + \sqrt {2x^2  + 2xy + 5y^2 }  = 3(x + y)} \hfill  \\\\ 
   {\sqrt {4x + 1}  + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1} \hfill  \\ 
\end{array}} \right. 
}
Από Minkowski είναι (επειδή \displaystyle{x+y\geq 0})

\displaystyle{\sqrt {5x^2  + 2xy + 2y^2 }  + \sqrt {2x^2  + 2xy + 5y^2 }=\sqrt{(2x)^2+y^2+(x+y)^2}+\sqrt{(2y)^2+x^2+(x+y)^2}\geq }

\displaystyle{\geq \sqrt{(2x+2y)^2+(x+y)^2+(2x+2y)^2}=3(x+y).}

Άρα ισχύει ως ισότητα. Από την αναλογία των τριάδων

\displaystyle{(2x,y,x+y),(2y,x,x+y)}

προκύπτει \displaystyle{x=y.}

Απομένει να λύσουμε την εξίσωση

\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}.}

Ίσως δε βλέπω κάτι ευκολότερο, αλλά μια λύση είναι η παρακάτω:

Από ΑΜ-ΓΜ είναι

\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}\leq \frac{4x+10}{6}+\frac{28x+136}{24}\implies 12x^2-5x-38\leq 0\stackrel{x\geq 0}{\implies}x\leq 2.}

Αφού \displaystyle{x\leq 2} είναι επίσης

\displaystyle{2x^2+x+1=\sqrt{4x+1}+2\sqrt[3]{28x+8}\geq \sqrt{4x+1}+4x} (είναι \displaystyle{28x+8=7\cdot 4x+8\geq 7x^3+x^3=8x^3})

άρα

\displaystyle{2x^2-3x+1\geq \sqrt{4x+1}\implies (2x^2-3x+1)^2\geq 4x+1\implies x(x-2)(4x^2-4x+5)\geq 0\stackrel{x\geq 0}{\implies}x\geq 2.}

Άρα τελικά \displaystyle{x=2,} η οποία επαληθεύει.

Συμπέρασμα: Μοναδική λύση του συστήματος είναι η \displaystyle{(2,2).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητο σύστημα (4)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Αύγ 08, 2014 12:37 am

Για x \geqslant  - \frac{1}{4} \wedge 13x + 16y + 8 \geqslant 0 θέτουμε a = \sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}}  \wedge b = \sqrt {2{x^2} + 2xy + 5{y^2}}.
Είναι

{a^2} - {b^2} = 3{x^2} - 3{y^2} = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \Rightarrow

\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( * \right)}

a - b = x - y αλλά είναι και a + b = 3\left( {x + y} \right) οπότε:

a = 2x + y \wedge b = x + 2y \Rightarrow {a^2} = {\left( {2x + y} \right)^2} \wedge {b^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2} \Rightarrow x = y

Άρα

\sqrt {4x + 1}  + 2\sqrt[3]{{13x + 15y + 8}} = 2xy + y + 1 \Rightarrow

\sqrt {4x + 1}  + 2\sqrt[3]{{28x + 8}} = 2{x^2} + x + 1 \Rightarrow

\sqrt {4x + 1}  - 3 + 2\sqrt[3]{{28x + 8}} - 8 = 2{x^2} + x - 10 \Rightarrow

\frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {4x + 1}  + 3}} + \frac{{56\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 5} \right) \Rightarrow

x = 2 \vee \frac{4}{{\sqrt {4x + 1}  + 3}} + \frac{{56}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} = 2x + 5

όμως
\frac{4}{{\sqrt {4x + 1}  + 3}} + \frac{{56}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{28x + 8}}} \right)}^2} + 4\sqrt[3]{{28x + 8}} + 16}} < 1 + 2 = 3 < 5 \leqslant 2x + 5 διότι x \geqslant 0 από την \displaystyle{{\sqrt {5{x^2} + 2xy + 2{y^2}}  + \sqrt {2{x^2} + 2xy + 5{y^2}}  = 3(x + y) = 6x}}
άρα x = 2 οπότε και y=2 που επαληθεύουν.

{\left( * \right)} εύκολα x + y \ne 0 αφού αν y+x=0 τότε \displaystyle{x = y = 0 \wedge 5 = 1}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες